Colles PC* 2016-2017


Colle n$ ^\circ$ 1 du 26 septembre 2016 au 9 octobre 2016

Compléments d'algèbre linéaire, séries numériques

Algèbre linéaire

Dans toute cette partie, $ \:\K$ désigne $ \:\mathbb{R}$ ou $ \:\mathbb{C}$.


A - Espaces vectoriels, endomorphismes et matrices

Le programme est organisé autour de trois objectifs :

Le programme valorise les interprétations géométriques et l'illustration des notions et des résultats par de nombreuses figures.


\begin{cadre}
\souscadre{a) Produit et somme d'espaces vectoriels}
\par
Produit ...
.... Trace d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie.
&\\
\par
\end{cadre}

A - Séries numériques

Cette partie consolide et élargit les acquis de première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de l'étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.

La semi-convergence n'est pas un objectif du programme.


\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Compléments sur les séries à valeurs réelles}
\...
...y} v_q \bigg).
\end{displaymath}&Démonstration non exigible.\\
\par
\end{cadre}
Les étudiants sauront redémontrer les différents résultats du cours.Il est opportun de revoir :

  1. La fiche sur les limites et équivalents usuels;
  2. Le chapitre de sup sur les suites;
  3. Le chapitre de sup sur les séries.
  4. Le chapitre de sup sur les développements limités.

Quelques documents pour l'année :

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 2 du 10 octobre 2016 au 6 novembre 2016

Réduction des endomorphismes

B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Après avoir introduit le vocabulaire des éléments propres en dimension quelconque, cette partie s'intéresse de manière plus approfondie au cas de la dimension finie, et à la question de diagonalisabilité d'une matrice carrée.

L'application des résultats de la réduction à la recherche des solutions d'une récurrence linéaire à coefficients constants crée un nouveau pont entre l'algèbre et l'analyse et anticipe l'étude des équations différentielles linéaires, dont la résolution repose sur des outils similaires.

La notion de polynôme annulateur est hors programme. L'étude des classes de similitude est hors programme.


\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Éléments propres }
\par
Droite stable par un en...
... des récurrences linéaires d'ordre $2$ à coefficients constants.\\
\end{cadre}
Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

  1. Le chapitre 1 sur les compléments d'algèbre linéaire;
  2. Les chapitres de sup d'algèbre linéaire :

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 3 du 7 novembre 2016 au 20 novembre 2016

Intégrales sur un intervalle

Intégration

L'objectif de ce chapitre est multiple :

Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de $ \:\mathbb{R}$ et à valeurs réelles ou complexes.


\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Fonctions continues par morceaux}
\par
Fonction...
...p
\par
Extension aux fonctions de classe $\mathcal{C}^k$.
&
\\
\par
\end{cadre}
Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

  1. Les limites et équivalents usuels;
  2. Les primitives et dérivées des fonctions usuelles.
  3. Le chapitre de sup d'intégration et en particulier :
    1. Le théorème fondamental de l'analyse;
    2. Les sommes de Riemann;
    3. Les différentes techniques de calcul de primitive.

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 4 du 21 novembre 2016 au 4 décembre 2016

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Ce chapitre vise les objectifs suivants :

L'aspect géométrique de certains concepts topologiques gagne à être illustré par de nombreuses figures.


\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Normes}
\par
Norme sur un espace vectoriel réel...
...inéaires et polynomiales sur $\K^n$.&Exemple du déterminant.\\
\par
\end{cadre}
Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

  1. La notion de borne supérieure;
  2. L'axiome de la borne supérieure;
  3. Le théorème de caractérisation de la borne supérieure et sa traduction en terme de point adhérent;
  4. Le chapitre de sup sur les limites de suites et de fonctions.

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 5 du 5 décembre 2016 au 18 décembre 2016

Suites et séries

B - Suites et séries de fonctions

L'objectif de ce chapitre est de définir les modes usuels de convergence d'une suite et d'une série de fonctions et de les exploiter pour étudier la stabilité des propriétés de ces fonctions par passage à la limite. En prolongement du chapitre sur les espaces vectoriels normés de dimension finie, un lien est établi avec l'utilisation de la norme de la convergence uniforme.

Les fonctions sont définies sur un intervalle $ I$ de $ \:\mathbb{R}$ et à valeurs dans $ \:\mathbb{R}$ ou $ \:\mathbb{C}$.


\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Modes de convergence d'une suite ou d'une série...
...e convergence de $\displaystyle{\sum\int_I \vert f_n\vert}$.\\
\par
\end{cadre}
Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

  1. Le chapitre sur les intégrales généralisées
  2. Le chapitre sur les séries numériques.
  3. La fiche de synthèse sur les inégalités classiques ci-dessous.
On s'assurera en particulier que les élèves maîtrisent les encadrement pour les restes et les sommes partielles d'une série alternée satisfaisant les hypothèses du critère spécial et les comparaisons séries-intégrales.

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 6 du 3 janvier 2017 au 15 janvier 2017

C - Séries entières

Les objectifs de ce chapitre sont les suivants : La théorie des séries entières sera appliquée au cas des séries génératrices dans le chapitre dédié aux variables aléatoires discrètes et à la recherche de solutions d'équations différentielles linéaires.


\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Rayon de convergence}
Lemme d'Abel :
si la suit...
...é ouvert.&\\
Développement de $\exp(z)$ sur $\mathbb{C}$.&\\
\par
\end{cadre}

  1. Les développements en séries entières des fonctions usuelles seront connus et les élèves sauront les retrouver.
  2. Les étudiants sauront utiliser une équation différentielle ou une équation fonctionnelle pour calculer un DSE.
  3. Ils sauront aussi utiliser les séries entières pour calculer la somme d'une série.
  4. Les liens entre séries numériques, séries de fonctions et séries entières devront être parfaitement établis.
  5. Le cours devra être parfaitement maîtrisé.

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 7 du 16 janvier 2017 au 29 janvier 2017

A- Espaces probabilisés

Cette partie a pour objectif la mise en place du cadre général de la théorie des probabilités permettant d'aborder l'étude de processus stochastiques à temps discret. Cette mise en place se veut minimale. En particulier :


\begin{cadre}
\souscadre{a) Ensembles dénombrables}
Un ensemble est dit dénombra...
...n'entraîne pas leur indépendance mutuelle si $n\geqslant 3$.\\
\par
\end{cadre}

  1. Les démonstrations des différentes formules du cours seront parfaitement maîtrisées.
  2. Les étudiants savent modéliser l'expérience aléatoire consistant à jeter une infinité de fois un dé ou une pièce de monnaie.
  3. Ils réviseront opportunément la résolution des récurrences linéaires d'ordres 1, 2 et plus.

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 8 du 30 janvier 2017 au 12 février 2017

B - Variables aléatoires discrètes

Les objectifs de cette partie sont les suivants : La construction d'espaces probabilisés modélisant une suite d'expériences aléatoires est hors programme, on admet l'existence de tels espaces. Les différents types de convergence probabiliste (presque sûre, en probabilité, en loi, en moyenne) sont hors programme.

Toutes les variables aléatoires mentionnées dans le programme sont implicitement supposées discrètes.


\begin{cadre}
\souscadre{a) Généralités}
Une variable aléatoire discrète $X$ su...
...laymath}\par
$\dbf$ I : simulation d'une suite de tirages.
\\
\par
\end{cadre}

  1. Les démonstrations des différents résultats du cours seront parfaitement maîtrisées.
  2. Les étudiants sauront faire bon usage des différentes lois usuelles
  3. Le chapitre sur les espaces probabilisables est naturellement à revoir.
  4. Il sera tout à fait opportun de revoir aussi le chapitre sur les séries numériques et le chapitre sur les séries entières.
  5. Les techniques de résolution des récurrences linéaires seront aussi reprises.

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 9 du 27 février 2017 au 12 mars 2017

Espaces euclidiens

Ce chapitre est organisé autour de trois objectifs :



\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Isométries vectorielles}
Un endomorphisme d'un ...
... diagonale réelle et $P$ orthogonale telles que $A=PDP^{-1}$.
\par
\end{cadre}

  1. Les démonstrations des différents résultats du cours seront parfaitement maîtrisés.
  2. Les étudiants sauront reconnaître des projecteurs orthogonaux et des symétries orthogonales, ainsi que en dimension $ 2$ des rotations et des réflexions.
  3. Ils sauront utiliser les projections orthogonales dans des problèmes de meilleur approximation.
  4. Ils sauront aussi redémontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'appliquer à la mise en place d'inégalités.

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

Colle n$ ^\circ$ 10 du 14 mars 2017 au 27 mars 2017

Révisions: toute l'année :

  1. Compléments d'algèbre linéaire
  2. Séries numériques
  3. Réduction des endomorphismes
  4. Intégrales généralisées
  5. Espaces vectoriels normés
  6. Suites et séries de fonctions
  7. Séries entières
  8. Espaces probabilisés
  9. Variables aléatoires discrètes
  10. Espaces euclidiens et préhilbertien
  11. Fonctions à valeurs vectorielles
  12. Equations différentielles
Programme officiel pour les deux derniers chapitres :

Fonctions vectorielles, arcs paramétrés

L'objectif de ce chapitre est double :

Toutes les fonctions sont définies sur un intervalle $ I$ de $ \:\mathbb{R}$ et à valeurs dans $ \:\mathbb{R}^n$.


\begin{cadre}
\par
\souscadre{a) Dérivabilité et opérations sur les fonctions dé...
... visualisation à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel.\\
\par
\end{cadre}

Équations différentielles linéaires



L'étude des équations différentielles linéaires scalaires d'ordres un et deux, abordée en première année, se poursuit par celle des systèmes différentiels linéaires d'ordre $ 1$ et des équations scalaires à coefficients non constants, en mettant l'accent sur les équations d'ordre deux. On s'attache à développer à la fois les aspects théorique et pratique :

Ce chapitre favorise les interactions avec les autres disciplines scientifiques.


Dans tout ce chapitre, $ \:\K$ désigne $ \:\mathbb{R}$ ou $ \:\mathbb{C}$ et $ I$ est un intervalle de $ \:\mathbb{R}$.



\begin{cadre}
\souscadre{a) Systèmes différentiels}
\par
Équation de la forme $X...
...a méthode de la variation des constantes est hors programme.\\
\par
\end{cadre}

Documents :

O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O

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Colles PC* 2016-2017

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Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

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