Colle 1 du 26-09-2022 au 09-10-2022

Compléments d'algèbre linéaire, séries numériques

Programme

Algèbre linéaire

Dans toute cette partie, $\mathbb{K}$ désigne $\:\mathbb{R}$ ou $\:\mathbb{C}$ .

A - Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Le programme est organisé autour de trois objectifs :

consolider les acquis de la classe de première année ;
introduire de nouveaux concepts préliminaires à la réduction des endomorphismes : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, somme directe, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace, polynômes d'endomorphismes et de matrices carrées, polynômes interpolateurs de Lagrange ;
passer du point de vue vectoriel au point de vue matriciel et inversement.

Le programme valorise les interprétations géométriques et préconise l'illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels ; dimension dans le cas où ces espaces sont de dimension finie.
	Somme, somme directe d'une famille finie de sous-espaces vectoriels.
	En dimension finie, base adaptée à un sous-espace vectoriel, à une décomposition $E=\bigoplus E_i$ .		Décomposition en somme directe obtenue par partition d'une base.
	Si $F_1, \ldots, F_p$ sont des sous-espaces de dimension finie, $\displaystyle \dim \biggl(\sum_{i=1}^p F_i\biggr) \leqslant \sum_{i=1}^p \dim(F_i)$ avec égalité si et seulement si la somme est directe.


	* Matrices définies par blocs, opérations par blocs de tailles compatibles (combinaison linéaire, produit, transposition).
	Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.
	Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, endomorphisme induit. Si et commutent alors le noyau de est stable par .		Traduction matricielle de la stabilité d'un sous-espace vectoriel par un endomorphisme et interprétation en termes d'endomorphismes d'une matrice triangulaire ou diagonale par blocs.


	* Trace d'une matrice carrée. Linéarité, trace d'une transposée. Relation $\tr (AB)=\tr (BA)$ . Invariance de la trace par similitude. Trace d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie.		Notation $\tr (A)$ .


	* Polynôme d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.		Relation $(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)$ .
	Polynôme annulateur.		Application au calcul de l'inverse et des puissances.
	Deux polynômes de l'endomorphisme commutent.		Le noyau de est stable par .
	Adaptation de ces résultats aux matrices carrées.


	* Base de $\mathbb{K}_n[X]$ constituée des polynômes interpolateurs de Lagrange en points distincts de $\mathbb{K}$ .		Expression d'un polynôme $P\in\mathbb{K}_n[X]$ dans cette base. La somme des polynômes interpolateurs de Lagrange en points est le polynôme constant égal à 1.
	Déterminant de Vandermonde.		Lien avec le problème d'interpolation de Lagrange.

	*[-3pt]

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0.3

A - Compléments sur les séries numériques

Cette section a pour objectif de consolider et d'élargir les acquis de première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de l'étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.

L'étude de la semi-convergence n'est pas un objectif du programme.


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Technique de comparaison série-intégrale.		Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale pour établir des convergences et des divergences de séries, estimer des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dans le cas d'une fonction monotone.
	Formule de Stirling : équivalent de .		La démonstration n'est pas exigible.
	Règle de d'Alembert.
	Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du reste.		La transformation d'Abel est hors programme.
	Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.		La démonstration n'est pas exigible.

	*[-3pt]

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0.3 Les étudiants sauront redémontrer les différents résultats du cours, connaîtront les résultats sur les séries de Bertrand et les différentes propriétés des endomorphismes nilpotents (voir le cours). Il est opportun de revoir :

La fiche sur les limites et équivalents usuels;
Le chapitre de sup sur les suites;
Le chapitre de sup sur les séries.
Le chapitre de sup sur les développements limités.

Quelques documents pour l'année :

Colle 2 du 10-10-2022 au 23-10-2022

Réduction des endomorphismes

B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d'approfondir les notions étudiées en première année.
Il est attendu des étudiants qu'ils maîtrisent les deux points de vue suivants :

l'aspect géométrique (sous-espaces stables, éléments propres) ;
l'aspect algébrique (utilisation de polynômes annulateurs).

L'étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Droite stable par un endomorphisme.
	Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d'un endomorphisme.		Équation aux éléments propres $u(x)=\lambda x$ . Si et commutent, les sous-espaces propres de sont stables par .
	Spectre d'un endomorphisme en dimension finie.		Notation $\mathrm{Sp}(u)$ . La notion de valeur spectrale est hors programme.
	La somme d'une famille finie de sous-espaces propres d'un endomorphisme est directe.		Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
	Si un polynôme annule , toute valeur propre de est racine de .		Si $u(x)=\lambda x$ , alors $P(u)(x)=P(\lambda)x$ .
	Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d'une matrice carrée.		Équation aux éléments propres $AX=\lambda X$ .


	* Polynôme caractéristique d'une matrice carrée, d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.		Par convention le polynôme caractéristique est unitaire. Notations $\chi_A$ , $\chi_u$ . Coefficients de degrés 0 et .
	Les valeurs propres d'un endomorphisme de dimension finie sont les racines de son polynôme caractéristique.		Spectre complexe d'une matrice carrée réelle.
	Multiplicité d'une valeur propre. Majoration de la dimension d'un sous-espace propre par la multiplicité.		Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.
	Théorème de Cayley-Hamilton.		La démonstration n'est pas exigible.


	* Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est dit diagonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale.		Une telle base est constituée de vecteurs propres.
	Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.		Interprétation en termes d'endomorphisme. Calcul des puissances d'une matrice diagonalisable. Dans la pratique des cas numériques, on se limite à ou .
	Un endomorphisme d'un espace vectoriel est diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces propres est égale à .		Exemple des projecteurs et des symétries.
	Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace.		Traduction matricielle.
	Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ et si, pour toute valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa multiplicité.		Traduction matricielle.
	Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension admettant valeurs propres distinctes est diagonalisable.		Polynôme caractéristique scindé à racines simples. Traduction matricielle.


	* Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.		La démonstration n'est pas exigible. Traduction matricielle. Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme.
	L'endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.
	Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet $\prod\limits_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} (X-\lambda)$ pour polynôme annulateur.


	* Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire.		Expression de la trace et du déterminant d'un endomorphisme trigonalisable, d'une matrice trigonalisable à l'aide des valeurs propres.
	Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.		Interprétation en termes d'endomorphisme.
	Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ .		La démonstration n'est pas exigible. Traduction matricielle.
	Toute matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable.		La technique générale de trigonalisation est hors programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication.

	*[-3pt]

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0.3

Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

Eléments propres des endomorphismes nilpotents;
Réduction des matrices de rang 1
Réduction des matrices de rang 2
Densité de
$\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\\$ dans
mat $_{n}(\mathbb{K})\\$ .
Le chapitre 1 sur les compléments d'algèbre linéaire;
Les chapitres de sup d'algèbre linéaire :

Colle 3 du 07-11-2022 au 20-11-2022

Intégrales sur un intervalle

Intégration sur un intervalle quelconque

Cette section vise les objectifs suivants :

étendre la notion d'intégrale étudiée en première année à des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque par le biais des intégrales généralisées ;
définir, dans le cadre des fonctions continues par morceaux, la notion de fonction intégrable ;
compléter la section dédiée aux suites et aux séries de fonctions par les théorèmes de convergence dominée et d'intégration terme à terme ;
étudier les fonctions définies par des intégrales dépendant d'un paramètre.

On évite tout excès de rigueur dans la rédaction. Ainsi, dans les calculs concrets mettant en jeu l'intégration par parties ou le changement de variable, on n'impose pas de rappeler les hypothèses de régularité des résultats utilisés. De même, dans l'application des théorèmes de passage à la limite sous l'intégrale ou de régularité des intégrales à paramètre, on se limite à la vérification des hypothèses cruciales, sans insister sur la continuité par morceaux en la variable d'intégration.

Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de $\:\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\:\mathbb{K}$ , ensemble des nombres réels ou des nombres complexes.


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle de $\mathbb{R}$ .
	Intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux.		Brève extension des propriétés de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment étudiées en première année. Aucune construction n'est exigible.


	* Pour continue par morceaux sur $[a,+\infty\mathclose[$ , l'intégrale $\ds\int_a^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}\!t$ est dite convergente si $\ds\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}\!t$ a une limite finie lorsque tend vers $+\infty$ .		Notations $\ds \int_a^{+\infty} f$ , $\ds\int_a^{+\infty}f(t) \,\mathrm{d}\!t.$ Intégrale convergente (resp. divergente) en $+\infty$ .
	Si est continue par morceaux sur $[a,+\infty\mathclose[$ et à valeurs positives, alors $\ds\int_a^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}\!t$ converge si et seulement si $\ds x \mapsto \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}\!t$ est majorée.
	Si et sont deux fonctions continues par morceaux sur $[a,+\infty[$ telles que $0\leqslant f\leqslant g$ , la convergence de $\ds \int_a^{+\infty}g$ implique celle de $\displaystyle \int_a^{+\infty}f$ .


	* Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de $\mathbb{R}$ .		Notations $\ds \int_a^b f$ , $\ds\int_a^bf(t) \,\mathrm{d}\!t$ . Intégrale convergente (resp. divergente) en , en .
	Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.
	Intégration par parties sur un intervalle quelconque : $\ds\int_a^b f(t)g'(t)\,\mathrm{d}\!t= \left[fg\right]_a^b- \ds\int_a^b f'(t)g(t)\,\mathrm{d}\!t.$		La démonstration n'est pas exigible. L'existence des limites finies du produit aux bornes de l'intervalle assure que les intégrales de et sont de même nature. Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.
	Changement de variable : si $\varphi : \mathopen]\alpha,\beta\mathclose[ \to \mathopen]a,b\mathclose[$ est une bijection strictement croissante de classe $\mathcal{C}^1$ , et si est continue sur $\mathopen]a,b\mathclose[$ , alors $\displaystyle \int_{a}^b f(t) \,\mathrm{d}\!t$ et $\displaystyle \int_\alpha^{\beta} (f \circ \varphi)(u)\,\varphi'(u) \,\mathrm{d}\!u$ sont de même nature, et égales en cas de convergence.		La démonstration n'est pas exigible. Adaptation au cas où $\varphi$ est strictement décroissante. On applique ce résultat sans justification dans les cas de changements de variable usuels.


	* Intégrale absolument convergente.
	La convergence absolue implique la convergence. Inégalité triangulaire.		L'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme.
	Une fonction est dite intégrable sur un intervalle si elle est continue par morceaux sur et son intégrale sur est absolument convergente.		Notations $\ds\int_I f$ , $\ds\int_I f(t) \,\mathrm{d}\!t$ . Pour $I=[a,b\mathclose[$ , (respectivement $\mathopen]a,b]$ ), fonction intégrable en (resp. en ).
	Espace vectoriel $L^1(I,\mathbb{K})$ des fonctions intégrables sur à valeurs dans $\mathbb{K}$ .
	Si est continue, intégrable et positive sur , et si $\ds\int_I f(t) \,\mathrm{d}\!t=0$ , alors est identiquement nulle.
	Théorème de comparaison : pour et deux fonctions continues par morceaux sur $[a,+\infty\mathclose[$ : si $f(t)\underset{t \to +\infty}{=}O\left(g(t)\right)$ , alors l'intégrabilité de en $+\infty$ implique celle de . si $f(t)\underset{t \to +\infty}{\sim} g(t)$ , alors l'intégrabilité de en $+\infty$ est équivalente à celle de .		Adaptation au cas d'un intervalle quelconque. Le résultat s'applique en particulier si $f(t)\underset{t \to +\infty}{=}o(g(t))$ .
	Fonctions de référence : pour $\alpha\in\mathbb{R}$ , intégrales de Riemann : étude de l'intégrabilité de $t \mapsto \dfrac{1}{t^\alpha}$ en $+\infty$ , en ; étude de l'intégrabilité de $t \mapsto \mathrm{e}^{-\alpha t}$ en $+\infty$ .		L'intégrabilité de $t\mapsto \ln t$ en 0 peut être directement utilisée. Les résultats relatifs à l'intégrabilité de $x\mapsto \dfrac{1}{\vert x-a\vert^\alpha}$ en peuvent être directement utilisés. Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction $x\mapsto f(x)$ est intégrable en (resp. en ) si $t\mapsto f(a+t)$ (resp. $t\mapsto f(b-t)$ ) l'est en .


	*

	Théorème de continuité : si et sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ et une fonction définie sur $A\times I$ , telle que : pour tout $t\in I$ , $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur ; pour tout $x\in A$ , $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur ; il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur , telle que pour tout $(x,t)\in A \times I$ , on ait $\vert f(x,t) \vert \leqslant \varphi(t)$ ; alors la fonction $\displaystyle x \mapsto \int_I f(x,t) \,\mathrm{d}\!t$ est définie et continue sur .		En pratique, on vérifie l'hypothèse de domination sur tout segment de , ou sur d'autres intervalles adaptés à la situation.
	Théorème de convergence dominée à paramètre continu : si et sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ , une borne de et une fonction définie sur $A\times I$ telle que : pour tout $t\in I$ , $f(x,t)\xrightarrow[x\to a]{} \ell(t)$ ; pour tout $x\in A$ , $t\mapsto f(x,t)$ et $t\mapsto \ell(t)$ sont continues par morceaux sur ; il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur , telle que pour tout $(x,t)\in A \times I$ , on ait $\vert f(x,t) \vert \leqslant \varphi(t)$ ; alors $\ell$ est intégrable sur et : $\ds \int_I f(x,t)\,\mathrm{d}\!t \xrightarrow[x\to a]{} \int_I \ell(t)\,\mathrm{d}\!t.$		On remarque qu'il s'agit d'une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions.
	Théorème de dérivation : si et sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ et une fonction définie sur $A\times I$ , telle que : pour tout $t\in I$ , $x\mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur ; pour tout $x\in A$ , $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur ; pour tout $x\in A$ , $\displaystyle t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur ; il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur , telle que pour tout $(x,t)\in A \times I$ , on ait $\displaystyle \left\vert \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right\vert \leqslant \varphi(t)$ ; alors la fonction $\displaystyle g:x \mapsto \int_I f(x,t) \,\mathrm{d}\!t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur et vérifie : $\displaystyle \forall x\in A,\quad g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \,\mathrm{d}\!t.$		La démonstration n'est pas exigible. En pratique, on vérifie l'hypothèse de domination sur tout segment de , ou sur d'autres intervalles adaptés à la situation.
	Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ d'une intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de $t\mapsto\dfrac{\partial^kf}{\partial x^k}(x,t)$ et d'intégrabilité des $t\mapsto\dfrac{\partial^jf}{\partial x^j}(x,t)$ pour $0\leqslant j<k$ .
			Exemples d'études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique, exploitation d'une équation différentielle élémentaire. L'unicité de la solution d'un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.

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0.3 Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

Les limites et équivalents usuels;
Les primitives et dérivées des fonctions usuelles.
Le chapitre de sup d'intégration et en particulier :
1. Le théorème fondamental de l'analyse;
2. Les sommes de Riemann;
3. Les intégrales de Bertrand
4. Les différentes techniques de calcul de primitive.

Colle 4 du 21-11-2022 au 04-12-2022

Espaces vectoriels normés

Cette section vise les objectifs suivants :

généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\:\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\:\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l'analyse réelle, indispensables pour aborder l'étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.

Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.

Il convient de souligner l'aspect géométrique des concepts topologiques à l'aide de nombreuses figures.


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe.		Normes usuelles $\Vert\;\Vert _1$ , $\Vert\;\Vert _2$ et $\Vert\;\Vert _\infty$ sur $\mathbb{K}^n$ .
	Espace vectoriel normé. Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel.		Norme $\Vert\;\Vert _\infty$ sur un espace de fonctions bornées à valeurs dans $\mathbb{K}$ . L'égalité $\sup (kA) = k\sup(A)$ pour partie non vide de $\mathbb{R}$ et $k\in\mathbb{R}^+$ peut être directement utilisée.
	Distance associée à une norme.
	Boule ouverte, boule fermée, sphère.
	Partie convexe.		Convexité des boules.
	Partie bornée, suite bornée, fonction bornée.


	* Convergence et divergence d'une suite. Unicité de la limite. Opérations sur les limites.		Exemples dans des espaces de matrices, dans des espaces de fonctions.
	Une suite convergente est bornée.
	Toute suite extraite d'une suite convergente est convergente.


	* Normes équivalentes.		Invariance du caractère borné, de la convergence d'une suite. Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes. La comparaison effective de deux normes n'est pas un objectif du programme. On se limite en pratique à des exemples élémentaires.


	* Point intérieur à une partie.
	Ouvert d'un espace normé.		Une boule ouverte est un ouvert.
	Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie.
	Fermé d'un espace normé.		Caractérisation séquentielle.
			Une boule fermée, une sphère, sont des fermés.
	Stabilité par réunion finie, par intersection quelconque.
	Point adhérent à une partie, adhérence. Partie dense.		L'adhérence est l'ensemble des points adhérents. Caractérisation séquentielle. Toute autre propriété de l'adhérence est hors programme.
	Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente.


	* Limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine de définition.		Caractérisation séquentielle.
	Opérations algébriques sur les limites, composition.
	Continuité en un point.		Caractérisation séquentielle.


	* Opérations algébriques, composition.
	Image réciproque d'un ouvert, d'un fermé par une application continue.		Si est une application continue de dans $\mathbb{R}$ alors l'ensemble défini par est un ouvert et les ensembles définis par ou $f(x) \geqslant 0$ sont des fermés.
	Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue.


	* Équivalence des normes en dimension finie.		La démonstration est hors programme. La convergence d'une suite (ou l'existence de la limite d'une fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.
	Théorème des bornes atteintes : toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée et atteint ses bornes.		La démonstration est hors programme.
	Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales.		La notion de norme subordonnée est hors programme. Exemples du déterminant, du produit matriciel.

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0.3 Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

La notion de borne supérieure;
L'axiome de la borne supérieure;
Le théorème de caractérisation de la borne supérieure et sa traduction en terme de point adhérent;
Le chapitre de sup sur les limites de suites et de fonctions.

Colle 5 du 05-12-2022 au 18-12-2022

Suites et séries de fonctions

B - Suites et séries de fonctions

Cette section a pour objectif de définir différents modes de convergence d'une suite, d'une série de fonctions et d'étudier le transfert à la limite, à la somme des propriétés des fonctions.

Les fonctions sont définies sur un intervalle de $\:\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\:\mathbb{R}$ ou $\:\mathbb{C}$ .


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Convergence simple d'une suite de fonctions. Convergence uniforme. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
	Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .
	Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale d'une série de fonctions.		Utilisation d'une majoration uniforme de $\vert f_n(x)\vert$ pour établir la convergence normale de $\sum f_n$ .
	La convergence normale entraîne la convergence uniforme.		La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout point.


	* Continuité de la limite d'une suite de fonctions : si une suite de fonctions continues sur converge uniformément vers sur , alors est continue sur .		En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d'autres intervalles adaptés à la situation.
	Intégration sur un segment de la limite d'une suite de fonctions : si une suite de fonctions continues converge uniformément vers sur alors : $\displaystyle \int_a^b f_n(t) \,\mathrm{d}\!t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t) \,\mathrm{d}\!t$ .
	Dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions : si une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle converge simplement sur vers une fonction , et si la suite converge uniformément sur vers une fonction , alors est de classe $\mathcal{C}^1$ sur et .		En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d'autres intervalles adaptés à la situation.
	Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ , sous l'hypothèse de convergence uniforme de $(f^{(k)}_n)$ et de convergence simple de $(f^{(j)}_n)$ pour $0\leqslant j<k$ .


	* Continuité de la somme d'une série de fonctions : si une série $\sum f_n$ de fonctions continues sur converge uniformément sur , alors sa somme est continue sur .		En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d'autres intervalles adaptés à la situation.

	Théorème de la double limite : si une série $\sum f_n$ de fonctions définies sur converge uniformément sur et si, pour tout , admet une limite $\ell_n$ en borne de (éventuellement infinie), alors la série $\displaystyle \sum \ell_n$ converge, la somme de la série admet une limite en et : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \xrightarrow[x\to a]{} \sum_{n=0}^{+\infty} \ell_n.$		La démonstration est hors programme.

	Intégration de la somme d'une série de fonctions sur un segment : si une série $\displaystyle \sum f_n$ de fonctions continues converge uniformément sur alors la série des intégrales est convergente et : $\displaystyle \int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} f_n (t) \,\mathrm{d}\!t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(t) \,\mathrm{d}\!t.$

	Dérivation de la somme d'une série de fonctions : si une série $\displaystyle \sum f_n$ de classe $\mathcal{C}^1$ converge simplement sur un intervalle et si la série $\displaystyle \sum f'_n$ converge uniformément sur , alors la somme $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur et sa dérivée est $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} f'_n$ .		En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment ou sur d'autres intervalles adaptés à la situation. Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ sous hypothèse similaire à celle décrite dans le cas des suites de fonctions.


	*

	Théorème de convergence dominée : si une suite de fonctions continues par morceaux sur converge simplement vers une fonction continue par morceaux sur et s'il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur vérifiant $\vert f_n \vert \leqslant \varphi$ pour tout , alors les fonctions et sont intégrables sur et : $\displaystyle \int_I f_n(t) \,\mathrm{d}\!t \,\,\xrightarrow[n \to +\infty]{}\,\, \int_I f(t) \,\mathrm{d}\!t.$		La démonstration est hors programme.
	Théorème d'intégration terme à terme : si une série $\sum f_n$ de fonctions intégrables sur converge simplement, si sa somme est continue par morceaux sur , et si la série $\ds\sum \int_I \vert f_n(t) \vert \,\mathrm{d}\!t$ converge, alors $\ds \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$ est intégrable sur et : $\ds \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n (t) \,\mathrm{d}\!t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(t) \,\mathrm{d}\!t.$		La démonstration est hors programme. On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s'applique pas, mais dans lesquels l'intégration terme à terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles.

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0.3 Les étudiants profiteront de ce chapitre pour très opportunément réviser :

Le chapitre sur les intégrales généralisées
Le chapitre sur les séries numériques.
La fiche de synthèse sur les inégalités classiques ci-dessous.

On s'assurera en particulier que les élèves maîtrisent les encadrements pour les restes et les sommes partielles d'une série alternée satisfaisant les hypothèses du critère spécial et les comparaisons séries-intégrales.

Colle 6 du 02-01-2023 au 15-01-2023

A - Ensembles dénombrables, familles sommables

Ce préambule propose une introduction a minima de la dénombrabilité et des familles sommables, afin de poser les bases de vocabulaire, méthodes et résultats qui seront admis, et directement utilisés. Chaque professeur est libre d'en adapter le contenu au niveau de formalisme qu'il juge préférable pour ses étudiants.

Ces notions ne feront l'objet d'aucune évaluation spécifique, et leur usage est strictement réservé au contexte probabiliste.

Un ensemble est dit (au plus) dénombrable s'il est en bijection avec (une partie de) $\mathbb{N}$ , c'est-à-dire s'il peut être décrit en extension sous la forme $\{ x_i, i \in I\}$ où $I = \mathbb{N}$ ( $I \subset \mathbb{N}$ ) avec des distincts.

Sont dénombrables : $\mathbb{Z}$ , un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables, une union au plus dénombrable d'ensembles dénombrables. Une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.
En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries de réels positifs, on admet sans soulever de difficulté qu'on sait associer à toute famille au plus dénombrable $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $[ 0 , + \infty ]$ sa somme $\displaystyle \sum_{i \in I} x_i \in [ 0 , + \infty ]$ , et que pour tout découpage en paquets $I=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}I_n$ de , $\displaystyle\sum_{i\in I}x_i=\sum_{n=0}^{+\infty}\Bigl(\sum_{i\in I_n} x_i\Bigr)$ .

La famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $[ 0 , + \infty ]$ est dite sommable si $\displaystyle\sum_{i\in I}x_i<\infty$ . En pratique, dans le cas positif, les étudiants peuvent découper, calculer et majorer leurs sommes directement, la finitude de la somme valant preuve de sommabilité.
Une famille $(x_i)_{i \in I}$ au plus dénombrable de nombres complexes est dite sommable si $(\vert x_i\vert)_{i\in I}$ l'est. Pour $I = \mathbb{N}$ , la sommabilité d'une suite équivaut à la convergence absolue de la série associée. Si $\vert x_i\vert \leqslant y_i$ pour tout $i\in I$ , la sommabilité de $(y_i)_{i\in I}$ implique celle de $(x_i)_{i \in I}$ .

En cas de sommabilité, les sommes se manipulent naturellement grâce aux propriétés suivantes : croissance, linéarité, sommation par paquets, théorème de Fubini, produit de deux sommes.

B - Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Univers $\Omega$ , tribu $\mathcal{A}$ . Espace probabilisable $(\Omega, \mathcal{A})$ .		On se limite à la définition et à la stabilité par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables. Traduction de la réalisation des événements $\displaystyle\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n$ et $\displaystyle\bigcap_{n=0}^{+\infty} A_n$ à l'aide des quantificateurs $\exists$ et $\forall$ .
	Événements.		Généralisation du vocabulaire relatif aux événements introduit en première année.
	Une variable aléatoire discrète est une application définie sur $\Omega$ , telle que $X(\Omega)$ est au plus dénombrable et, pour tout $x\in X(\Omega)$ , $X^{-1}(\{x\})$ est un événement.		L'univers $\Omega$ n'est en général pas explicité. Notations , $\{X=x\}$ , $(X\in A)$ . Notation $(X\geqslant x)$ (et analogues) lorsque est à valeurs réelles.


	* Probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ , $\sigma$ -additivité. Espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .		Notation .
	Probabilité de la réunion ou de la différence de deux événements, de l'événement contraire.
	Croissance de la probabilité.
	Continuité croissante, continuité décroissante.		Application : pour une suite $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d'événements (non nécessairement monotone), limites quand tend vers l'infini de $\displaystyle P\Bigl(\bigcup_{k=0}^n A_k\Bigr)$ et $\displaystyle \quad P\Bigl(\bigcap_{k=0}^n A_k\Bigr).$
	Sous-additivité : $\displaystyle P\Bigl(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\Bigr) \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n)$ .		En cas de divergence de la série à termes positifs $\sum P(A_n)$ , on rappelle que $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)=+\infty$ .
	Événement presque sûr, événement négligeable.		Système quasi-complet d'événements.


	* Si , la probabilité conditionnelle de sachant est définie par la relation $P(A\vert B)=P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ .
	L'application définit une probabilité.
	Formule des probabilités composées.
	Formule des probabilités totales.		Si $(A_n)_{n\geqslant 0}$ est un système complet ou quasi-complet d'événements, alors $P(B) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} P(B \cap A_n) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} P(B\vert A_n) P(A_n)$ On rappelle la convention $P(B\vert A_n)P(A_n)=0$ lorsque .
	Formule de Bayes.

	*[-3pt]

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0.3

Les démonstrations des différentes formules du cours seront parfaitement maîtrisées.
Les étudiants savent modéliser l'expérience aléatoire consistant à jeter une infinité de fois un dé ou une pièce de monnaie.
Ils réviseront opportunément la résolution des récurrences linéaires d'ordres 1, 2 et plus (suites arithmético-géométriques, théorème de sup sur les récurrences linéaires d'ordre $2$, matrice compagnons et réduction appliquée au relations de récurrence linéaire d'ordre quelconque).
Les chapitres de proba de première année seront révisés. On peut interroger sur les lois uniforme, de Bernoulli et binomiales.
Révision de tous les programmes de colle précédents.

Colle 7 du 16-01-2023 au 29-01-2023

C - Séries entières

Les objectifs de cette section sont les suivants :

étudier la convergence d'une série entière et mettre en évidence la notion de rayon de convergence ;
étudier les propriétés de sa somme en se limitant à la continuité dans le cas d'une variable complexe ;
établir les développements en série entière des fonctions usuelles.

Les séries entières trouveront un cadre d'application dans la notion de fonction génératrice en probabilités.


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Série entière de la variable réelle, de la variable complexe. Lemme d'Abel : si la suite $\left(a_n z_0^n\right)$ est bornée alors, pour tout nombre complexe tel que $\vert z \vert <\vert z_0\vert$ , la série $\displaystyle \sum a_n z^n$ est absolument convergente.
	Rayon de convergence défini comme borne supérieure dans $[ 0 , + \infty ]$ de l'ensemble des réels positifs tels que la suite est bornée.		La série $\ds\sum a_n z^n$ converge absolument si $\vert z\vert<R$ , et elle diverge grossièrement si $\vert z\vert>R$ .
	Intervalle ouvert de convergence. Disque ouvert de convergence.
	Avec (resp. ) le rayon de convergence de $\displaystyle \sum a_n z^n$ , (resp. $\displaystyle \sum b_n z^n$ ) : si , alors $R_a \geqslant R_b$ ; si $a_n \sim b_n$ , alors .		Pour $\alpha\in\mathbb{R}$ , $R\left(\displaystyle\sum n^\alpha x^n\right)=1$ . Le résultat s'applique en particulier lorsque .
	Application de la règle de d'Alembert pour les séries numériques au calcul du rayon.		La limite du rapport $\dfrac{\vert a_{n+1}\vert}{\vert a_n\vert}$ peut être directement utilisée.
	Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux séries entières.


	* Convergence normale d'une série entière d'une variable réelle sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence.
	Continuité de la somme sur l'intervalle ouvert de convergence.		L'étude des propriétés de la somme au bord de l'intervalle ouvert de convergence n'est pas un objectif du programme.
	Primitivation d'une série entière d'une variable réelle sur l'intervalle ouvert de convergence.		Relation $R\left(\displaystyle\sum a_n x^n\right)=R\left(\displaystyle\sum na_n x^n\right)$ .
	Caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ de la somme d'une série entière d'une variable réelle sur l'intervalle ouvert de convergence et obtention des dérivées par dérivation terme à terme.
	Expression des coefficients d'une série entière de rayon de convergence strictement positif au moyen des dérivées successives en 0 de sa somme.


	* Fonction développable en série entière sur un intervalle $\mathopen]-r,r\mathclose[$ .
	Série de Taylor d'une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ .		Formule de Taylor avec reste intégral.
	Unicité du développement en série entière.
	Développements des fonctions usuelles.		Les étudiants doivent connaître les développements en série entière des fonctions : exponentielle, cosinus, sinus, cosinus et sinus hyperboliques, $\arctan$ , $x\mapsto \ln(1+x)$ et $x\mapsto (1+x)^\alpha$ . Les étudiants doivent savoir développer une fonction en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire. L'unicité de la solution d'un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.


	* Continuité de la somme d'une série entière de la variable complexe sur le disque ouvert de convergence.		La démonstration est hors programme.
	Développement de $\dfrac{1}{1-z}$ sur le disque unité ouvert.
	Développement de $\exp(z)$ sur $\mathbb{C}$ .

	*[-3pt]

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0.3

Les développements en séries entières des fonctions usuelles seront connus et les élèves sauront les retrouver.
Les étudiants sauront utiliser une équation différentielle ou une équation fonctionnelle pour calculer un DSE.
Ils sauront aussi utiliser les séries entières pour calculer la somme d'une série.
Les liens entre séries numériques, séries de fonctions et séries entières devront être parfaitement établis.
Le cours devra être parfaitement maîtrisé.

Colle 8 du 30-01-2023 au 12-02-2023


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Loi d'une variable aléatoire discrète.		La probabilité est déterminée par la distribution de probabilités $(P(X=x))_{x\in X(\Omega)}$ . On note $X\sim Y$ lorsque les variables et suivent la même loi, sans soulever de difficulté sur cette notation.
	Variable aléatoire . Si $X\sim Y$ alors $f(X)\sim f(Y)$ .		On ne soulève aucune difficulté sur le fait que est une variable aléatoire.
	Variable géométrique de paramètre $p\in\mathopen]0,1\mathclose[$ : *$\forall k\in \mathbb N^,\; P(X=k) = p (1-p)^{k-1}.$**		Notation $X\sim\mathcal{G}(p)$ . Relation . Interprétation comme rang du premier succès dans une suite illimitée d'épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre .
	Variable de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ : $\forall k\in \mathbb N,\; P(X=k) = \mathrm{e}^{-\lambda} \dfrac{\lambda^k}{k!}.$		Notation $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$ . Interprétation en termes d'événements rares.
	Couple de variables aléatoires discrètes.		Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à valeurs dans un produit. Notation .
	Loi conjointe, lois marginales.		Extension aux -uplets de variables aléatoires.
	Loi conditionnelle de sachant un événement .


	* Indépendance de deux événements.		Si , l'indépendance de et équivaut à $P(A\vert B)=P(A)$ .
	Indépendance d'une famille finie d'événements.		L'indépendance deux à deux n'entraîne pas l'indépendance.
	Si et sont indépendants, et $\overline{B}$ le sont aussi.		Extension au cas de événements.


	* Deux variables aléatoires discrètes et définies sur $\Omega$ sont indépendantes si, pour tout $A\subset X(\Omega)$ et $B\subset Y(\Omega)$ , les événements $(X\in A)$ et $(Y\in B)$ sont indépendants.		Notation $X \independent Y$ . De façon équivalente, la distribution de probabilités de est donnée par . Extension au cas de variables aléatoires.
	Suites de variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d.		On ne soulève aucune difficulté quant à l'existence d'un espace probabilisé portant une suite i.i.d. Modélisation du jeu de pile ou face infini : suite i.i.d. de variables de Bernoulli.
	Fonctions de variables indépendantes : si $X \independent Y$ , alors $f(X) \independent g(Y)$ .		Extension au cas de plus de deux variables aléatoires.
	Lemme des coalitions : si les variables aléatoires $X_1,\dots, X_n$ sont indépendantes, alors $f(X_1,\dots, X_m)$ et $g(X_{m+1},\dots, X_n)$ le sont aussi.		Extension au cas de plus de deux coalitions.

	*[-3pt]

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0.3

C - Espérance et variance


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Espérance d'une variable aléatoire à valeurs dans $[ 0 , + \infty ]$ , définie par *$\displaystyle \esperance(X) = \sum_{x\in X(\Omega)} %\hspace{-1.5ex} x P(X=x).$**		On adopte la convention lorsque $x=+\infty$ et $P(X=+\infty)=0$ .
	Variable aléatoire à valeurs réelles ou complexes d'espérance finie, espérance de .		est d'espérance finie si la famille $\big(x P(X=x)\big)_{x\in X(\Omega)}$ est sommable. Dans ce cas, la somme de cette famille est l'espérance de . Variable centrée.
	Pour variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}\cup\{+\infty\}$ , relation : $\esperance(X) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} P(X \geqslant n).$
	Espérance d'une variable géométrique, de Poisson.
	Formule de transfert : est d'espérance finie si et seulement si la famille $\big(f(x)P(X=x)\big)_{x\in X(\Omega)}$ est sommable. Dans ce cas : *$\esperance\Big(f(X)\Big) = \displaystyle\hspace{-1.5ex}\sum_{x \in X(\Omega)}\hspace{-1.5ex} f(x) P(X=x)$* .		On remarque que la formule s'applique aux couples, aux -uplets de variables aléatoires.
	Linéarité de l'espérance.
	Si $\vert X\vert\leqslant Y$ et $\esperance(Y)<+\infty$ , alors est d'espérance finie.
	Positivité, croissance de l'espérance.
	Si est positive et d'espérance nulle, alors est presque sûr.
	Pour et deux variables aléatoires indépendantes d'espérance finie, alors est d'espérance finie et : $\esperance(XY) = \esperance(X) \esperance(Y)$ .		Extension au cas de variables aléatoires.


	* Si est d'espérance finie, est d'espérance finie.
	Inégalité de Cauchy-Schwarz : si et sont d'espérance finie, alors l'est aussi et : $\esperance(XY)^2 \leqslant \esperance(X^2) \esperance(Y^2)$		Cas d'égalité.
	Variance, écart type.		Notations $\variance(X)$ , $\sigma(X)$ . Variable réduite.
	Relation $\variance(X) = \esperance(X^2)-\esperance(X)^2$ .
	Relation $\variance(aX+b)=a^2 \variance(X)$ .		Si $\sigma(X)>0$ , la variable $\dfrac{X - \esperance(X)}{\sigma(X)}$ est centrée réduite.
	Variance d'une variable géométrique, de Poisson.
	Covariance de deux variables aléatoires.
	Relation $\covariance(X,Y) = \esperance(XY) - \esperance(X)\esperance(Y)$ , cas de deux variables indépendantes.
	Variance d'une somme finie, cas de variables deux à deux indépendantes.


	* Fonction génératrice de la variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ : $G_X(t) = \displaystyle \esperance\left(t^X\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X=n) t^n.$		La série entière définissant est de rayon $\geqslant 1$ et converge normalement sur . Continuité de . Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction génératrice d'une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.
	La loi d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ est caractérisée par sa fonction génératrice .
	La variable aléatoire est d'espérance finie si et seulement si est dérivable en ; dans ce cas $\mathrm{E}(X)={G_X}'(1)$ .		La démonstration de la réciproque n'est pas exigible. Utilisation de pour calculer $\esperance(X)$ et $\variance(X)$ .
	Fonction génératrice d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ .		Extension au cas d'une somme finie de variables aléatoires indépendantes.


	* Inégalité de Markov.
	Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
	Loi faible des grands nombres : si $(X_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance finie, alors en notant $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_k$ et $m = \esperance(X_1)$ , pour tout $\varepsilon>0$ : $\displaystyle P\left( \left\vert \frac{S_n}{n} - m \right\vert \geqslant \varepsilon \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .		Les étudiants doivent savoir retrouver, avec $\sigma =\sigma(X_1)$ : $\displaystyle P\left( \left\vert \frac{S_n}{n} - m \right\vert \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$ .

	*[-3pt]

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0.3

Les démonstrations des différents résultats du cours seront parfaitement maîtrisées.
Les étudiants sauront faire bon usage des différentes lois usuelles
Le chapitre sur les espaces probabilisables est naturellement à revoir.
Il sera tout à fait opportun de revoir aussi le chapitre sur les séries numériques et le chapitre sur les séries entières.
Les techniques de résolution des récurrences linéaires seront aussi reprises.

Colle 9 du 27-02-2023 au 12-03-2023

Endomorphismes des espaces euclidiens

Cette section vise les objectifs suivants :

consolider les acquis de la classe de première année sur les espaces préhilbertiens réels ;
étudier isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux en insistant sur les représentations géométriques ;
approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
introduire la notion d'endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d'ordre 2.

Pour les applications courantes en dimension trois, on peut au besoin recourir au produit vectoriel, déjà introduit et connu des étudiants dans l'enseignement des sciences physiques notamment.

La notion d'adjoint est hors programme.


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Un endomorphisme d'un espace euclidien est une isométrie vectorielle s'il conserve la norme.		Exemple : symétries orthogonales, cas particulier des réflexions.
	Caractérisations par la conservation du produit scalaire, par l'image d'une base orthonormée.
	Groupe orthogonal.		Notation $\mathrm{O}(E)$ . On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme.
	Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable.


	* Une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si $A^{\!\!\top}\!\! A = I_n$ .		Interprétation en termes de colonnes et de lignes. Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée.
	Caractérisation d'une isométrie vectorielle à l'aide de sa matrice dans une base orthonormée.		On mentionne la terminologie « automorphisme orthogonal », tout en lui préférant celle d'«isométrie vectorielle».
	Groupe orthogonal.		Notations $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ , $\mathrm{O}(n)$ .
	Déterminant d'une matrice orthogonale. Groupe spécial orthogonal.		Notations $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ , $\mathrm{SO}(n)$ .
	Orientation. Bases orthonormées directes.


	* Description des matrices de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ , de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ .		Commutativité de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ .
	Rotation vectorielle d'un plan euclidien orienté.		On introduit à cette occasion, sans soulever de difficulté, la notion de mesure d'un angle orienté de vecteurs non nuls.
	Classification des isométries vectorielles d'un plan euclidien.


	* Endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien.		Notation $\mathcal{S}(E)$ . Caractérisation des projecteurs orthogonaux.
	Caractérisation d'un endomorphisme autoadjoint à l'aide de sa matrice dans une base orthonormée.		On mentionne la terminologie « endomorphisme symétrique », tout en lui préférant celle d'«endomorphisme autoadjoint».
	Théorème spectral : tout endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres.		La démonstration n'est pas exigible. Forme matricielle du théorème spectral.
	Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif.		Caractérisation spectrale. Notations $\mathcal{S}^+(E)$ , $\mathcal{S}^{++}(E)$ .
	Matrice symétrique positive, définie positive.		Caractérisation spectrale. Notations $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ , $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ .

	*[-3pt]

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0.3

Les démonstrations des différents résultats du cours seront parfaitement maîtrisées.
Les étudiants sauront reconnaître des projecteurs orthogonaux et des symétries orthogonales, ainsi que en dimension
$2\\$ les rotations et les réflexions.
Ils sauront utiliser les projections orthogonales dans des problèmes de meilleure approximation.
Ils sauront aussi redémontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz les yeux fermés et l'appliquer à la mise en place d'inégalités.
Ils sauront manipuler le théorème spectral en long, en large et en travers...
Hors programme: matrices de Gram, matrices symétriques positives et définies positives, racines carrées d'une matrice symétrique positive, décompositions polaire et d'Iwasawa, réduction des matrices réelles antisymétriques, ...

Colle 10 du 13-03-2023 au 26-03-2023

Dernière quinzaine de colles: Révisions de l'analyse de spé et calcul différentiel

Séries numériques
Intégrales généralisées
Suites et séries de fonctions
Séries entières
Calcul différentiel
Fonctions à valeurs vectorielles

Programme officiel pour le dernier chapitre :

Calcul différentiel

A - Dérivabilité des fonctions vectorielles

L'objectif de cette section est de généraliser aux fonctions à valeurs dans $\:\mathbb{R}^n$ la notion de dérivée d'une fonction numérique.

Toutes les fonctions sont définies sur un intervalle de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ .


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Dérivabilité en un point. Dérivabilité sur un intervalle.		Définition par le taux d'accroissement, caractérisation par le développement limité d'ordre un. Traduction par les coordonnées dans la base canonique. Interprétation cinématique.

	Combinaison linéaire de fonctions dérivables.
	Dérivée de , où est linéaire et à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ .
	Dérivée de , où est bilinéaire, de $M(f_1,\dots,f_p)$ , où est -linéaire, et , , $f_1,\dots,f_p$ à valeurs vectorielles.		La démonstration n'est pas exigible. Application au produit scalaire et au déterminant.
	Dérivée de $f \circ \varphi$ où $\varphi$ est à valeurs réelles et à valeurs vectorielles.
	Fonction de classe $\mathcal{C}^k$ , de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur un intervalle.

	*[-3pt]

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0.3

B - Fonctions de plusieurs variables

Les dérivées partielles d'une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ ont été introduites en première année. L'objectif de cette section est d'approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de $p\geqslant 2$ variables.

L'étude d'une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l'étude des fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ . Elle est axée sur la mise en place d'outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l'analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas ou .


	CONTENUS		CAPACITéS & COMMENTAIRES



	* Dérivée en un point selon un vecteur.		Notation .
	Dérivées partielles d'ordre en un point d'une fonction définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .		Notation $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ . On peut aussi utiliser $\partial_if(a)$ .
	Une fonction est dite de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\Omega$ si ses dérivées partielles d'ordre existent et sont continues sur $\Omega$ .
	Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$ .
	Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ admet en tout point de $\Omega$ un développement limité d'ordre .		La démonstration n'est pas exigible. Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ est continue sur $\Omega$ .
	Différentielle de en .		Elle est définie comme la forme linéaire sur $\mathbb{R}^p$ : $\mathrm{d} f(a)\,:\; (h_1,\ldots,h_p)\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^p \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i$ . Notation $\mathrm{d} f(a)\cdot h$ .



	* Dérivée de $t\mapsto f\bigl(x_1(t),\ldots,x_p(t)\bigr).$
	Application au calcul des dérivées partielles de : $(u_1,\dots,u_n)\mapsto f\bigl(x_1(u_1,\dots,u_n),\dots,x_p(u_1,\dots,u_n)\bigr)$ .		En pratique, on se limite à $n\leqslant 3$ et $p\leqslant 3$ . Les étudiants doivent connaître le cas particulier des coordonnées polaires.
	Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe.


	* Dans $\mathbb{R}^p$ muni de sa structure euclidienne canonique, gradient d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ .		Le gradient est défini par ses coordonnées. Notation ${\nabla}f(a).$
	Pour $h\in\mathbb{R}^p$ , relation $\mathrm{d} f(a) \cdot h=\langle \nabla f(a), h\rangle$ .		Interprétation géométrique du gradient : si $\nabla f(a)\neq 0$ , il est colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de en est maximale, et de même sens.


	* Dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .		Notations $\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}$ .
	Fonction de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ .
	Théorème de Schwarz.		La démonstration est hors programme.
	Matrice hessienne en un point d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .		Notation .
	Formule de Taylor-Young à l'ordre : $f(a+h) \underset{h \to 0}{=} f(a) + {\nabla f(a)}^\top h + \frac{1}{2} {h}^\top H_f(a) h + \mathrm{o}(\Vert h\Vert^2).$		La démonstration est hors programme. Expression en termes de produit scalaire.


	* Extremum local, global.
	Point critique d'une application de classe $\mathcal{C}^1$ .
	Si une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ admet un extremum local en un point , alors est un point critique.
	Si est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ et un point critique de : si $H_f(a) \in\mathcal{S}_p^{++}(\mathbb{R})$ , alors atteint un minimum local strict en ; si $H_f(a) \notin \mathcal{S}_p^{+}(\mathbb{R})$ , alors n'a pas de minimum en .		Adaptation à l'étude d'un maximum local. Explicitation pour (trace et déterminant).
			Exemples de recherche d'extremums globaux sur une partie de $\mathbb{R}^p$ .

	*[-3pt]