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Structure de l'ensemble quotient d'un groupe

Remarque Si x est élément de G, nous noterons $\overline x$ la classe d'équivalence de x dans G/H

. x sera alors un représentant de la classe d'équivalence $\overline x$ .
Définition Nous allons définir une loi interne $\perp$

sur G/H

par: Si x et y sont éléments de G alors

$\begin{displaymath}{\overline x}\perp{\overline y}=\overline {x.y}\end{displaymath}$

Quand aucune confusion n'est à craindre, nous noterons la loi interne de G/H de la même façon que celle de G. Cette loi est celle induite de G sur G/H.
Remarque Il faut vérifier que cette loi est bien définie sur G/H, c.a.d que si x,x',y,y' sont des éléments de G tels que

$\begin{displaymath}\overline x=\overline x' \; % et\; \overline y=\overline y' \; alors \; \overline {x.y}=\overline{x'.y'}.\end{displaymath}$

Proposition La loi définie précédemment est bien définie si et seulement si H est normal dans G.
Démonstration La condition à vérifier pour que la loi précédente soit bien définie sur G/H est que si x,x',y,y' sont des éléments de G tels que

$\begin{displaymath}\overline % x=\overline x' \; et\; \overline y=\overline y' \; alors \; \overline {x.y}=\overline{x'.y'}.\end{displaymath}$

Etudions quelle propriété sur H nous permet de valider cette condition. La condition précédente est équivalente à la suivante:

$\begin{displaymath}x.x'^{-1}\in H, y.y'^{-1} \in H \Rightarrow x.y.y'^{-1}.x'^{-1} % \in H.\end{displaymath}$

Mais comme, par hypothèse, $y.y'^{-1}$ est élément de H

et que tout élément de H peut s'écrire sous la forme $y.y'^{-1}$ où y est élément de G ( si h est dans H on écrit h=h. $e^{-1}$ !!!), cette condition implique la suivante (qui semble bien moins restrictive):

$\begin{displaymath}x \in G \Rightarrow % xHx^{-1}\in H.\end{displaymath}$

ou, autrement dit, notre condition de départ entraîne celle que H est normal dans G

. Résumons nous: La loi définie précédemment sur G/H nous assure d'une structure de groupe sur cet ensemble seulement si H est normal dans G. Montrons que cette condition est aussi suffisante: Supposons alors que H est normal dans G. Si $x.x'^{-1}\in H, y.y'^{-1} \in H$ , montrons alors que $x.y.y'^{-1}.x'^{-1} \in H.$ Notons $h=y.y'^{-1}$ .

est élément de h. Il faut donc montrer que $x.h.x'^{-1}$ est élément de H. Mais on peut écrire: $x.h.x'^{-1}=x.h.x^{-1}.x.x'^{-1}$ et comme H est normal dans G et que $x.x'^{-1}\in H$ alors $x.h.x'^{-1}$ est bien élément de H comme produit d'éléments de H.
Théorème fondamental Supposons que H est un sous groupe normal

de G. L'ensemble G/H

muni de la loi interne induite

de celle de G a une structure de groupe. De plus, si G est abélien

il en est de même de G/H équipé de la loi induite.
Démonstration Comme H est normal

dans G la loi induite

par celle de G sur G/H est bien définie.
L'élément $\overline e_G$ est le neutre de la loi . Dans G/H:

$\begin{displaymath}\overline e_G .\overline x=\overline x . \overline e_G=\overline{x.e_G}=\overline x % .\end{displaymath}$

De plus tout élément de G/H $\overline x$ possède un inverse qui est $\overline {x^{-1}}$ . (Donc $\overline {x^{-1}}=\overline x^{-1}$ ). L'associativité de la loi induite se démontre en passant au quotient celle de la loi de départ. De même, on démontrerait que la loi induite est commutative si la loi de départ l'est aussi, et donc que G/H est abélien si G l'est.

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