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Construction du quotient d'un groupe

Dans toute cette leçon, (G,.) désigne un groupe et (H,.) désigne un sous groupe de G. On considère aussi la relation, si x et y sont éléments de G:

$\begin{displaymath}x {\cal R} y \Leftrightarrow x^{-1}.y \in H .\end{displaymath}$

Proposition La relation $\cal R$ définie par $x {\cal R} y \Leftrightarrow x^{-1}.y \in H$ est une relation d'équivalence

.
Démonstration Triviale!!
Définition On notera l'ensemble

$\cal R$ des classes d'équivalences

de la relation $\cal R$ sur G.
Proposition Soit $x \in G$ . La classe d'équivalence de x

pour la relation

$\begin{displaymath}x {\cal R} y \Leftrightarrow y.x^{-1} \in H \end{displaymath}$

est l'ensemble $Hx=\lbrace % x.h ; y\in H \rbrace$ .
Démonstration Soit $y \in G$ équivalent à x pour la relation $\cal R$ . Alors il existe $h \in H$ tel que $x^{-1}.y=h$ . Et donc y est élément de

. Réciproquement, si y est élémennt de

, il est clair que y $\cal R$ x.
Définition L'ensemble

s'appelle classe à gauche de l'élément x de G.
Remarque On aurait aussi put définir notre relation d'équivalence $\cal R$ par:

$\begin{displaymath}x {\cal R} y \Leftrightarrow y.x^{-1} \in H .\end{displaymath}$

Dans ce cas, la classe d'équivalence d'un élément x de G aurait été donné par l'ensemble

.
Définition L'ensemble

s'appelle classe à droite de l'élément x de G.
Proposition Si H est un sous groupe

fini

de G et si x et y sont deux éléments de G alors les classes d'équivalences (à gauche ou à droite) de x et y pour la relation $\cal R$ ont même nombre d'éléments et ce nombre est égal au cardinal de H.
Démonstration Soit x un élément de G. Posons $f:H\longrightarrow xH \; h \longrightarrow f(h)=x.h$ .

est injective car si h et h' sont des éléments de H tels que

alors on a l'égalité

et x étant élément du groupe G, ceci implique, en multipliant à gauche chacun des membres de l'égalité précédente par $x^{-1}$ que h=h'.

est aussi surjective car si y est un élément de xH, alors il existe $h \in H$ tel que

et donc

. f étant à la fois injective et surjective, elle est bijective. Ceci prouve que H et xH ont même nombre d'éléments. Mais si y est un élément de G, yH et H auront aussi même nombre d'éléments. Donc xH et yH ont même cardinal.
De même on montrerait que toutes les classes à droite pour une relation $\cal R$ , issue d'un sous groupe H de cardinal fini dans G, ont même nombre d'éléments, ce nombre étant égal à |H|.
Le théorème qui vient maintenant et qui résulte des propositions précédentes est fondamental en algèbre.
Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini. Si H est un sous groupe de G, alors le cardinal de H divise celui de G. On notera |G/H| où [G:H] le nombre |G|/|H|. [G:H] s'appelle l'indice de H dans G.
Démonstration Soit donc H un sous groupe de G. On considère la relation d'équivalence $\cal R$ associée à H. Elle nous permet de définir une partition de G par des sous ensembles de la forme xH où $x \in G$ . On peut donc trouver, G étant fini, un nombre $n \in {\rm I\!N }$ et $x_1,...,x_n \in G$ tels que $\lbrace x_1 % H,...x_n H \rbrace$ forme une partition de G. Mais les sous ensembles

ont tous, d'après la proposition précédente

, le même nombre d'éléments. De plus, ce nombre est égale à |H|. Donc le cardinal de G s'écrit |G|=n|H|. Ceci prouve notre théorème.

On donne maintenant un corollaire du théorème de Lagrange qui est absolument fondamental dans la théorie des groupes finis.

Théorème Soit G un groupe. Soit g un élément de G d'ordre fini. Alors l'ordre de g divise l'ordre de G.

Démonstration Soient G et g comme dans l'énoncé du théorème et soit n l'ordre de g. Alors $\lbrace g,g^2,...,g^n=e \rbrace$ est un sous groupe de G. Cette affirmation est triviale à vérifier. De plus, par définition de l'ordre d'un élément dans un groupe, ce sous groupe est de cardinal n. Par application du théorème de Lagrange, n est un diviseur du cardinal de G.

On se posera, un peu plus tard dans le cours, le problème réciproque, à savoir: Si p est un diviseur de l'ordre du groupe alors existe-t-il un élément d'ordre p dans G ou encore: existe-t-il un sous groupe d'ordre p dans G. La réponse sera donnée par le théorème de Cauchy pour les éléments d'ordre p et sous certaines conditions sur p, et par le théorème de Sylows, pour les sous groupes d'ordre p, sous certaines conditions sur p et sur G.
Il est naturel de se demander pour quelles conditions sur H on a coïncidence entre les classes à gauche et les classes à droite. Nous allons nous pencher sur cette question dans la fin de ce paragraphe.
Définition On dira que le sous groupe H de G est distingué ou normal dans G si pour tout g dans G et tout h dans H on a: $g.h.g^{-1} \in H$ . On note $H\triangleleft G$ le fait que H soit normal dans G.
Proposition Soit donc H un sous groupe de groupe G. Les classes à gauche et à droite de la relation d'équivalence héritée de H coïncident si et seulement si H est normal dans G.
Démonstration Supposons que les classes à gauche et à droite coïncident. Pour tout g dans G, on a: gH=Hg. donc en particulier, pour tout h dans H, il existe h' dans H tel que g.h=h'.g. Donc pour tout h dans H, il existe h' tel que g.h.g $^{-1}$ =h' $\in H$ . Ceci prouve que $H\triangleleft G$ .
Réciproquement, supposons que $H\triangleleft G$ . Alors pour tout g dans G et tout h dans H, g.h.g $^{-1}$ est élément de H. Donc pour tout g dans G et tout h dans H, g.h est dans H.g. On a ainsi montré que pour tout élément g de G, gH $\subset$ Hg. Comme les cardinaux de gH et Hg sont égaux à celui de H, ils sont égaux entre eux et on a alors bien gH=Hg.
La proposition suivante semble être anecdotique alors qu'elle est en fait fondamentale et permet de construire des groupes parmi les plus importants en Mathématique.
Proposition Si G et G' sont deux groupes et que $f:G\longrightarrow G'$ est un homomorphisme de groupe alors le noyau de : Ker est un sous groupe normal de G.
Démonstration Je ne vous en ferais pas l'affront.

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