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Vocabulaire

Définition On considère une relation $\cal R\,$ sur un ensemble X. On dira que est une relation d'équivalence si pour tout x,y et z de X elle vérifie:

$\cal R\,$ est réflexive: x $\cal R\,$ x.
$\cal R\,$ est symétrique: x $\cal R\,$ y $\Leftrightarrow$ y $\cal R\,$ x.
$\cal R\,$ est transitive: si x $\cal R\,$ y et que y $\cal R\,$ z alors x $\cal R\,$ z.

Exemple "être égal à" est une relation d'équivalence (sur n'importe quel ensemble X).
Exemple Sur IN, on considère la relation x $\cal R\,$ y $\Leftrightarrow$ x-y est pair où x et y désignent des éléments quelconques de IN. $\cal R\,$ ainsi définie est une relation d'équivalence (le vérifier!!).
Définition Soit X un ensemble muni d'une relation d'équivalence $\cal R\,$ . Soit aussi x un élément de X. On appellera classe d'équivalence de x suivant $\cal R\,$ l'ensemble $\lbrace y\in X\,;\, y {\cal R} x \rbrace$ . Un élément y d'une classe d'équivalence sera appelé un représentant de la classe d'équivalence.
Exemple Pour X=INet avec la relation d'équivalence définie dans l'exemple précédent, la classe d'équivalence de 2 est, comme annoncé dans l'introduction, l'ensemble des nombres pairs. La classe d'équivalence de 1 est l'ensemble des nombres impairs. Remarquons de plus que ces deux classes d'équivalence partitionnent IN.
Proposition Une classe d'équivalence n'est jamais vide (!!).
Proposition Si des éléments x et y de X sont dans une même classe d'équivalence alors leurs classes d'équivalences sont identiques.
Exemple Dans l'exemple précédent, la relation d'équivalence choisie nous fournie exactement deux classes d'équivalence sur IN. Tout élément de INa sa classe d'équivalence égale à une de ces deux là.
Proposition fondamentale L'ensemble des classes d'équivalence d'un ensemble X pour une relation d'équivalence donnée $\cal R\,$ définie une partition de X.
Démonstration D'une part, tout élément de X est élément d'une classe d'équivalence de la relation $\cal R\,$ . Au pire, cet élément constitue à lui seul une classe d'équivalence. D'autre part, si deux classes d'équivalence s'intersectaient en un ensemble non vide, alors de part la transitivité

de la relation d'équivalence $\cal R\,$ , ceci impliquerait qu'elles seraient en fait égales. L'ensemble des classes d'équivalence d'une relation $\cal R\,$ sur X définit ainsi bien une partition de X.

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