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La notion de relation d'équivalence est un outil merveilleux.
Elle permet tout d'abord de réunir des objets "équivalents" dans une même classe et ainsi de les réunir et de les traiter comme un seul.
C'est le cas par exemple lorsque l'on construit le groupe fondamental d'une surface (ou d'une variété). On considère comme équivalents, des chemins
tracés sur la surface considérée, et qui peuvent se ramener l'un sur l'autre par une déformation continue de l'un des deux chemins. Un autre
exemple, beaucoup plus élémentaire, est donné par la relation d'équivalence suivante: " l'entier n est équivalent à l'entier m si m-n est paire". On
aura alors une partition de INen deux sous ensembles: ceux qui seront équivalents à 1 et qui seront les nombres impairs d'une part, ceux qui
seront équivalents à 2 et qui seront les nombres pairs, d'autre part.
Le second intérêt de cette notion est de permettre la création de nouveaux objets mathématiques. Les exemples sont nombreux et parmi les
plus célèbres, citons les corps finis IF
sur lesquels nous reviendrons dans une prochaine de leçon, l'espace projectif réel ou complexe de
dimension n ![$kP[n]$](/b/g/e/img3.gif)
où k désigne IRou IC, ou encore la bouteille de Klein obtenue en découpant un tore le long d'un de ses cercles générateurs et
en le "recollant" via une "bonne relation d'équivalence".
Dans toute la leçon X désignera un ensemble quelconque non vide.
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques