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Espaces topologiques connexes

Dans tout ce chapitre (X, ${\cal O)}$ et (Y, ${\cal O')}$ désignent des espaces topologiques.
Proposition On dira que l'espace topologique (X, ${\cal O)}$ est connexe s'il vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes.

Si X est réunion de deux ouverts disjoints alors l'un de ces deux ouverts est vide et l'autre égale à X.
Si X est réunion de deux fermés disjoints alors l'un de ces deux fermés est vide et l'autre égale à X.
Si l'on considère $\lbrace 0,1 \rbrace$ muni de la topologie discrète et $f: X\longrightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ une application continue, alors est constante sur X.
Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l'ensemble vide.

Démonstration $1\Leftrightarrow 2$ est évident par passage au complémentaire

.
$1\Rightarrow 3$ : Soit

un application continue de X dans $\lbrace 0,1 \rbrace$ . Alors $\lbrace f^{-1}(0);f^{-1}(1) \rbrace$ représente une partition de E en deux ouverts (ou deux fermés) de E

. Par conséquent, l'un de ces deux ouverts est vide et l'autre égale à X tout entier, ce qui implique bien que

est constante sur X.
$3\Rightarrow 1$ : Soient

deux ouverts de X qui définissent une partition de X. Soit aussi $f: X\longrightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ définie par $f(U_1)=\lbrace 0 \rbrace$ et $f(U_2)=\lbrace 1 \rbrace$ .

est continue

et donc constante sur X. Donc l'un des deux ouverts est vide et l'autre égale à X tout entier.Cqfd
$1\Rightarrow 4$ : Soit U un sous ensemble à la fois ouvert et fermé de X. Alors U

est, lui aussi, un sous ensemble ouvert et fermé de X. Mais U et U

définissent une partition de X en deux ouverts. X étant connexe U est ou vide ou égale à X tout entier.
$4\Rightarrow 1$ : Supposons que U et V définissent une partition ouverte de X. Le complémentaire de U est alors égale à V et réciproquement V

=U. U étant ouvert , V est alors fermé

. De même U est aussi fermé. Mais X ne possède pas de sous ensemble à la fois ouvert et fermé autre que l'ensemble vide et X. Donc l'un des deux, U ou V est vide l'autre égale à X, ce qui nous donne le premier point.
Définition On dira qu'un sous ensemble U de X est un sous espace connexe de X ( ou un connexe de X ) si U est connexe pour la topologie induite de celle de X.
Exemple Un intervalle de IRest connexe dans IR(muni de sa topologie canonique). Les seuls sous ensembles connexes de IRsont d'ailleurs les intervalles

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