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Application continue sur un connexe

Théorème L'image d'un connexe par une application continue est un sous ensemble connexe de l'espace image de cette application.
Démonstration On supposose ici que (X, ${\cal O)}$ est un espace topologique connexe et soit $f: X\longrightarrow Y$ une application continue de X dans Y. Montrons que

est un connexe de Y. Supposons donc qu'il existe une partition $\lbrace U_1;U_2 \rbrace$ de

en deux ouverts. Posons $V_1=f^{-1}(U_1)$ et $V_2=f^{-1}(U_2)$ . Les deux ouverts

sont des éléments de la topologie induite

sur

et sont donc de la forme $U_1=f(X)\cap O_1$ et $U_2=f(X)\cap O_2$ où

sont des ouverts de Y. De plus, pour i=1,2, $f^{-1}(U_i)=f^{-1}(O_i)=V_i$ . Comme

est continue

, on en déduit que les sous ensembles

sont des sous ensembles ouverts dans X. De plus, par construction, leur réunion recouvre X et leur intersection est vide. $\lbrace V_1;V_2 \rbrace$ est donc une partition de X en deux ouverts. Comme X est connexe, l'un de ces deux ouverts est vide et l'autre égale à X tout entier. Mais ceci implique que l'image par

de chacun de ces deux ouverts est, respectivement vide et égale à

tout entier et donc que l'un des nos deux sous ensembles

est vide et l'autre égale à

est alors bien connexe.
Et en application de ce théorème:
Théorème Théo. des valeurs intermédiaires Si une application

est définie et continue sur un intervalle ]a,b[ de IR(où a et b sont des rééls quelconques pouvant être égales à respectivement $-\infty$ et $+\infty$ ) , et si de plus a' et b' sont des éléments de ]a,b[ tel que a'<b' alors pour tout $C\in [f(a'),f(b')]$ , il existe $c\in[a',b']$ tel que

.
Démonstration L'image d'un connexe par une application continue est connexe. Or, les intervalles de IRsont les sous ensembles connexes de IR. On en déduit donc que l'image de [a',b'] par f est un intervalle de IR. Tout élément de ce dernier possèdant un antécédent dans [a',b'], Le théorème est démontré.

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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques