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Application continue

Soient (X, $\cal{O}$ ) et (Y, $\cal{P}$ ) deux espaces topologiques.
Définition On dira qu'une fonction

:X $\longrightarrow$ Y est continue en $x \in$ X si $\forall V \in {\cal{V}}(f(x)), f^{-1}(V)\in {\cal{V}}(x)$
Définition Une application

:X $\longrightarrow$ Y sera dite continue sur X si pour tout O de $\cal{P}$ , $f^{-1}(O)$ est élément de $\cal{O}$ .
Remarque Voir la définition d'une fonction continue dans un espace métrique (

) ainsi que la définition d'une fonction mesurable en théorie de la mesure.
La proposition suivante nous assure de la cohérence entre la définition de la continuité en un point et la définition de la continuité sur un espace tout entier (Une fonction est continue sur un espace si et seulement si elle est continue en chaque point de cet espace):
Proposition Soit

:X $\longrightarrow$ Y On a la série d'équivalence:

est continue sur X.
$\forall$ F fermé de Y, $f^{-1}(F)$ est un fermé de X.
$\forall x \in X ,\forall V \in {\cal{V}}(f(x)), f^{-1}(V)\in {\cal{V}}(x)$

$\,$
Démonstration 1 $\Leftrightarrow$ 2:On sait que pour tout ensemble A, $f^{-1}(A^c)=f(A)^c$ . L'équivalence s'en déduit aussi tôt.
1 $\Rightarrow$ 3 Soit x un point de x et y=

(x). Soit V un élément de $\cal{V}\,$ (

(x)). Nous devons prouver que $f^{-1}$ (V) est un voisinage de x. Comme V est un voisinage de

(x), il contient un ouvert O de Y, cet ouvert contenant y. $f^{-1}(O)$ est donc, puisque

est continue, un ouvert de X contenant x. Mais cet ouvert est contenu dans $f^{-1}$ (V). Ce dernier est donc bien un voisinage de x

.
3 $\Rightarrow$ 1 Soit O un ouvert de Y. Montrons que $f^{-1}(O)$ est un ouvert de X. Soit x un élément de $f^{-1}(O)$ . Comme O est ouvert, on peut trouver un élément V de $\cal{V}\,$ (

(x)) tel que V soit inclus dans O

. Mais $f^{-1}(V)$ est alors un élément de $\cal{V}\,$ (x) inclus dans $f^{-1}(O)$ .Cqfd.
Théorème Soient

:X $\longrightarrow$ Y et $x \in$ X. Si

est continue en x alors $\forall$ $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ convergeantes vers x, $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty}}$ f(

)=f(x).
Démonstration
Supposons que

est continue en x. Alors pour tout voisinage V de

(x), $f^{-1}$ (V) est un voisinage de x. Soit $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ une suite convergeant vers x et soit V un voisinage de

(x). Par définition de la convergence d'une suite

, il existe $N\in I\!N\,$ tel que si

alors x $_n\in f^{-1}$ (V) Donc, si n>N alors

est élément de V. Ceci prouve que $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty}}$ f(

(x).
La réciproque de cette propriété est vraie si l'espace est à base dénombrable de voisinage:
Théorème Si (X, $\cal{O}$ ) est à base dénombrable de voisinages et si $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ est une suite convergeant vers x, on a équivalence entre:

est continue en x.
Pour toute suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ convergeant vers x, $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty}}$ f()=f(x).

$\,$
Démonstration Supposons que

n'est pas continue en x. Ceci implique qu'il existe un voisinage V de

(x) tel que $f^{-1}$ (V) n'est pas un voisinage de x

. Donc U= $\lbrace y\in X ;f(y)\in$ V $\rbrace$ ne contient pas d'ouvert contenant x. Autrement dit, prenant un système fondamentale de voisinage au point x : $(V_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ , pour tout n dans IN, on peut trouver un élément

tel que $x_n \in V_n \setminus$ U. La suite

ainsi construite converge vers x

mais la suite $(f(x_n))_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ ne rencontre, par construction, jamais V et donc ne converge pas vers

. Cqfd.
Définition Soit

:X $\longrightarrow$ Y. On dira que

est une application ouverte si l'image par

de tout ouvert de X est un ouvert de Y.
Proposition Si

est bijective, on a équivalence entre:

est une application ouverte.
$f^{-1}$ est continue comme application de Y dans X.

Démonstration C'est évident!.
Nous considérerons, pour la dernière propriété de ce paragraphe, un troisième espace topologique (Z, $\cal{Q}$ ).
Proposition (Continuité de la composée de deux applications continues) Si

:X $\longrightarrow$ Y est continue sur X et que

:Y $\longrightarrow$ Z est continue sur Y alors $g\circ f$ :X $\longrightarrow$ Z est continue sur X.
Démonstration Soit O un ouvert de Z. Comme

est continue, $g^{-1}(O)$ est un ouvert de Y. Mais comme f est continue

, $f^{-1}(g^{-1}(O))$ est un ouvert de X. Ce qui prouve que, pour O ouvert quelconque de Z, $(g\circ f)^{-1}(O)$ est un ouvert de X, et que $g\circ f$ est continue sur X.

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