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Suites dans un espace métrique produit

Théorème Soit $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ une suite de X. $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ est convergente sur X

pour la topologie (métrique) produit si et seulement si ses suites coordonnées sont convergentes pour la topologie de l'espaces auxquels elles appartiennent. De plus, la limite

de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ est égale à ( $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n^1}$ ,..., $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n^k}$ ).
Démonstration Soit la suite d'éléments de X $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ = $(x_n^1,...,x_n^k)_{n \in {\rm I\!N\,}}$ où $(x_n^i)_{n \in {\rm I\!N\,}}$ incluse dans

.
On sait que si un application f est continue en un point x d'un espace métrique (X,d) vers un espace métrique (Y,d) alors si $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ est une suite convergeant vers x, on $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)}$ =

( $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n}$ )

. D'autre part, les applications $\Pi_i$ sont continues

pour i=1,...,k. Donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n^i}$ = $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\Pi_{i}(x_n)}$ = $\Pi_i$ ( $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n}$ )=

et les suites

sont bien convergentes sur

. De plus, leur limite est

.
Montrons maintenant que si les suites coordonnées $(x_n^i)_{n \in {\rm I\!N\,}}\subset X_i$ pour i=1,..,k convergent vers $x_i\in X_i$ alors la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ = $(x_n^1,...,x_n^k)_{n \in {\rm I\!N\,}}$ converge vers $x=(x_1,...,x_k)\in X$

. Pour ce faire, prenons $\varepsilon>0$ ainsi qu'une boule $B(x,\varepsilon)$ = $B(x_1,\varepsilon)$ $_1\times...\times$ $B(x_k,\varepsilon)$

dans X. Pour tout i=1..k, il existe $N(i,\varepsilon) _in {\rm I\!N\,}$ tel que si n> $N(i,\varepsilon)$ alors $x_n^i \in$ $B(x_i,\varepsilon)$

. Prenons

$\begin{displaymath}N(\varepsilon)=\displaystyle{\sup_{i=1}^k\lbrace N(i,\varepsilon) \rbrace}.\end{displaymath}$

On peut alors affirmer que si n> $N(\varepsilon)$ alors $x_n \in$ $B(x,\varepsilon)$ .

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