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Notions de base

On considère dans ce chapitre une famille d'espaces métriques $((X_i,d_i))_{\scriptsize {i =1..k}}$ et soit

\begin{displaymath}X=\displaystyle{\prod_{i=1}^k X_i}.\end{displaymath}

Définition On appelle métrique produit la métrique $d:\,X\times X\longrightarrow {\rm I\!R\,}^{+}$ définie par : si $x=(x_1,...,x_k)\in X$ et $y=(y_1,...,y_k)\in X$ alors

\begin{displaymath}\displaystyle{d(x,y)=\sup_{i=1}^k d_i(x_i,y_i)}\end{displaymath}

Démonstration On vérifie sans peine que l'application ainsi définie sur X est bien une métrique .
On peut alors énoncer la définition :
Définition L'espace (X,d) est l'espace métrique produit des $((X_i,d_i))_{\scriptsize {i =1..k}}$.
Proposition Soit r>0 et $x=(x_1,...,x_k)\in X$. Soit $B(x,r)$ la boule de X de rayon x et de centre r relative à la métrique d . Notons, pour i=1..k, $B(x_i,r)$$_i$ la boule de $X_i$ de centre $x_i$ et de rayon r relative à la métrique $d_i$ . Alors $B(x,r)$=$B(x_1,r)$ $_1\times...\times$$B(x_k,r)$$_k$.
Démonstration Soit $y=(y_1,...,y_k)\in $$B(x,r)$. Alors, pour tout i=1,...,k, on a $d_i(x_i,y_i) < r$ et donc $y_i \in$$B(x_i,r)$$_i$ .
Réciproquement, si, pour tout i=1,...,k, $y_i$ vérifie $d_i(x_i,y_i) < r$ alors $d(x,y)<r$ et $y\in$$B(x,r)$.
Définition Pour tout i=1..k, on appelle projecteur de X sur X$_i$ l'application $\Pi_i:\,X\longrightarrow X_i$ qui à un élément $x=(x_1,...,x_k)$ de X associe $\Pi_i(x)=x_i$.
Proposition Les applications $\Pi_i$ pour i=1,..,k sont 1-Lipschitzienne et sont donc continues .
Démonstration C'est immédiat, via la définition des $\Pi_i$.
Proposition Les projecteurs sont des applications ouvertes .
Démonstration Soit i un entier compris entre 1 et k et soit U un ouvert de (X,d). On veut montrer que $\Pi_i$ est ouverte, ce qui revient à montrer que $\Pi_i$(U) est un ouvert de $(X_i,d_i)$ . Soit x un point de U. Comme U est ouvert, on peut trouver une boule ouverte $B(x,r)$ incluse dans U . Mais cette boule est, comme nous l'avons vu, de la forme $B(x_1,r)$ $_1\times...\times$$B(x_k,r)$$_k$ . Donc $\Pi_i$( $B(x,r)$)=$B(x_i,r)$$_i$. Cette dernière boule est donc incluse dans $\Pi_i$(U), ce qui nous prouve que $\Pi_i$(U) est ouvert et que $\Pi_i$ est une application ouverte .
Proposition La topologie induite par la métrique produit est la moins fine pour laquelle les projecteurs sont continues. C'est donc la topologie produit.(Cf les espaces topologiques produits).
Démonstration On sait déjà que les projecteurs sont continues pour la métrique produit . Montrons donc que cette topologie est la moins fine pour laquelle cela fonctionne. Supposons qu'il existe une topologie moins fine, ${\cal O}$, que celle conséquente à la métrique produit et pour laquelle les projecteurs sont continues. Cela signifie qu'il existe des ouverts de (X,d) qui ne sont pas éléments de ${\cal O}$. Comme les projecteurs sont continues, les boules $B(x,r)$=$B(x_1,r)$ $_1\times...\times$$B(x_k,r)$$_k$ sont des ouverts de ${\cal O}$ . Des réunions de telles boules sont donc encore des ouverts de ${\cal O}$ . Mais tout ouvert de (X,d) est réunion de ces boules. (En effet, par définition d'un ouvert U dans un espace métrique, pour tout élément x de U, on peut trouver un réél positif r$_x$ tel que la boule de centre x et de rayon r$_x$ est incluse dans U. En prenant la réunion de toutes ces boules pour chaque x appartenant U, on obtient U.) Donc tout ouvert de (X,d) est ouvert de ${\cal O}$ et la topologie de (X,d) est équivalente à la topologie ${\cal O}$. On a ainsi bien montré que la topologie définie par la métrique produit était équivalente à la topologie produit.
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