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Propriétés

Proposition Tout sous ensemble fermé d'un espace complet est complet.
Démonstration Soit F un fermé de X et soit $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite de Cauchy de F. Cette suite est donc convergente dans X. Notons x sa limite. Comme F est un fermé dans un espace métrique, toute suite convergente de points de F a sa limite dans F . Donc x est élément de F.
Proposition Tout sous espace complet d'un espace métrique est fermé.
Démonstration Notons (X,d) l'espace métrique et U la partie de X qui est complète pour la métrique induite . Pour vérifier, dans un espace métrique, qu'un sous ensemble est fermé, il suffit de vérifier que toute suite convergente de ce sous ensemble a sa limite dans le sous ensemble . Prenons donc une suite convergente $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ de U. Comme cette suite est convergente, elle est de Cauchy . Mais notre sous ensemble U étant complet, sa limite est nécessairement dans U. On montre ainsi que U est fermé.
Définition On appelle diamètre d'un élément A de $\cal{P(X)} $le nombre $\delta$(A)= $\displaystyle{sup_{x,y\in A } }$d(x,y).
Remarque Le diamètre d'une partie de X peut être infinie.
La prop. suivante est parfois utile dans les démonstrations faisant intervenir la complétude.
Proposition On suppose que (X,d) est complet. Soit $(F_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une famille décroissante de fermés de X pour laquelle $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\delta(F_n)=0}$. Il existe alors un unique élément x de X tel que ${\displaystyle{\bigcap_{n\in {\rm I\!N }} F_n}}=\lbrace x \rbrace$.
Démonstration Soit donc $(F_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une famille décroissante de fermés dont le diamêtre tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Prélevons dans chaque $F_n$ un élément $x_n$ et montrons que la suite ainsi construite est de Cauchy. Soit $\varepsilon >0$. Comme $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\delta(F_n)=0}$, il existe N dans INtel que si n>N alors $\delta(F_n)<\varepsilon$. Mais donc, par définition du diamêtre, si n et m sont plus grands que N, d($x_n$,$x_m$)<$\varepsilon$, ce qui prouve bien que la suite est de Cauchy. Mais (X,d) étant complet, elle converge vers un élément x de X.
Il reste à montrer que x est dans l'intersection des $U_i$. Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existerait alors i dans INtel que x ne soit pas élément de $U_i$. Mais $U_i$ étant fermé dans un espace complet, il est complet pour la distance induite. Donc la suite $({x_n})_{n \geq i}$ qui est incluse dans $U_i$ et qui est de Cauchy pour la distance induite sur $U_i$ converge dans $U_i$. Donc sa limite x est élément de $U_i$ ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. Donc x est dans l'intersection des $U_i$.
Proposition Tout produit fini d'espaces métriques (X$_i$,d$_i$) où $i\in I$ (et où I est un ensemble fini) complets est complet pour la métrique produit (si x= $(x_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ et y= $(y_i)_{\scriptsize {i \in I}}$, d(x,y)=sup$_{i\in I}$d$_i$($x_i$,$y_i$)).
Démonstration Soit $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite de Cauchy de $\displaystyle{\prod_{i\in I}^{}X_{i}}.$ Notons $(x_n^j)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ la j $\scriptstyle ième$ suite coordonnée. Comme $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy pour d, pour $\varepsilon>0 $ donné, il existe N dans INtel que quelque soient $n,m>$N, on a d $(x_n,x_m)<\varepsilon$. Par definition de la métrique produit , cela implique, pour chacune des suites coordonnées: si $n,m>$N, on a d $_j(x_n^j,x_m^j)<\varepsilon$. Donc la j $\scriptstyle ième$ suite coordonnée est de Cauchy dans (X$_j$,d$_j$) et ce pour tout j dans I. Comme chaque (X$_j$,d$_j$) est complet, chaque suite coordonnees $(x_n^j)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers un élément x$^j$ de X$_j$. Montrons maintenant que la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers x= $(x^i)_{i\in I}$. Soit $\varepsilon >0$. Pour tout i dans I, on peut trouver N$_i$ tel que si n>N$_i$ alors $d_i(x_n^i,x^i)<\varepsilon$. Posons N= $sup_{i\in I}^{}\lbrace N_i \rbrace$. Pour ce N là et par definition de la métrique produit , on a: si n>N $d(x_n,x)<\varepsilon$.
Proposition IR$^n$ muni de la métrique produit est complet.
Proposition Tout espace métrique compact (X,d) est complet.
Démonstration Soit (X,d) un espace métrique compact et soit $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite de Cauchy de X.
Remarquons que si une suite de Cauchy possède une sous suite convergente , alors elle est convergente: Soient $(x_{\phi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une sous suite convergente de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et x sa limite. Soit aussi $\varepsilon >0$ et $n,m\in{\rm I\!N }$. On a, en utilisant l'inégalité triangulaire , $d(x,x_n) \leq d(x,x_{\phi(m)})+d(x_{\phi(m)},x_n)$. Mais, comme $(x_{\phi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers x , il existe $ N(\frac{\varepsilon}{2})$ tel que si $ m> N(\frac{\varepsilon}{2})$ alors $d(x,x_{\phi(m)}) < \frac{\varepsilon}{2})$. De plus, comme $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy, il existe $N'(\frac{\varepsilon}{2})$ tel que si n et m sont plus grands que $N'(\frac{\varepsilon}{2})$ alors $d(x_{\phi(m)},x_n)<\frac{\varepsilon}{2}$. Mais alors, $d(x,x_n)<\frac{\varepsilon}{2}+{\frac{\varepsilon}{2}}=\varepsilon $, et ce dés que $n>sup(N,N').$
Nous sommes maintenant en mesure de traiter la démonstration de notre prop.: Comme (X,d) est un espace métrique compact, la propriété de Bolzano-Weierstrass nous autorise à affirmer que la suite de Cauchy $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ possède une sous suite convergente et donc, d'après la remarque précédente, qu'elle est convergente.
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