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Notions de base

Dans tout le chapitre, on se place sur un espace métrique (X,d)

. $\cal{O}$ désignera les éléments de la topologie sur X induite par d

.
I désignera un ensemble quelconque (fini, dénombrable ou indénombrable).
Définition Soit $(U_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ $\subset$ $\cal{P}$ (X). On dira que $(U_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ est un recouvrement ouvert de X si $\forall i\in I, U_i \in \cal{O}$ et que

$\begin{displaymath}X=\displaystyle{\bigcup_{i\in I} U_i}.\end{displaymath}$

Remarque On parlera de recouvrement fini (resp. dénombrable, quelconque...) si I est fini (resp. dénombrable, quelconque...).
Définition On remarquera qu'un espace métrique est toujours séparé, c'est à dire que si x et y $\in$ X, il existe toujours des ouverts

tel que $x\in O_x, y\in O_y et O_x\cap O_y=\emptyset$ . (Il suffit de prendre des boules ouvertes d'un rayon suffisemment petit autour de x et de y).
Définition On dira que (X,d) est un espace métrique compact si il vérifie: De tout recouvrement ouvert de X, on peut extraire un recouvrement fini.(C.a.d si

$\begin{displaymath}X=\displaystyle{\bigcup_{i\in I} U_i}\end{displaymath}$

alors il existe I $_0\subset$ I de cardinal fini et tel que

$\begin{displaymath}X=\displaystyle{\bigcup_{i\in I_0} U_i}).\end{displaymath}$

On a la definition équivalente suivante:
Définition On dira que (X,d) est un espace topologique compact si il vérifie: De tout famille $(F_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ de fermé

vérifiant

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i\in I} F_i=\emptyset}\end{displaymath}$

, on peut extraire une sous famille finie d'intersection vide. (C.a.d que l'on peut trouver I $_0\subset I$ de cardinal fini et tel que

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i\in I_0} F_i=\emptyset}).\end{displaymath}$

Démonstration Soit $(F_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ une suite de fermé d'intersection vide. Alors, on a

$\begin{displaymath}\displaystyle{{(\bigcap_{i\in I} F_i})^c=\bigcup_{i\in I} F_i^c=\emptyset^c=X}.\end{displaymath}$

$(F_i^c)_{\scriptsize {i \in I}}$ est donc un recouvrement ouvert de X

. On peut alors en extraire un recouvrement fini. Soit donc I $_0\subset$ I de cardinal fini tel que

$\begin{displaymath}\bigcup_{i\in I_0} F_i^c=X.\end{displaymath}$

En repassant au complémentaire, on trouve l'égalité voulue:

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i\in I_0} F_i=\emptyset}.\end{displaymath}$

Corollaire Si $(F_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est une suite décroissante de fermés non vides de X compact alors

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{n\in {\rm I\!N }} F_n\neq \emptyset}.\end{displaymath}$

Démonstration Il suffit de prendre la contraposée de la proposition précédente et de l'adapter à notre cas de figure (I=IN): Si pour une famille $(F_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ de fermé, on a pour toute partie fini I

de IN:

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i\in I_0} F_i\neq \emptyset}\end{displaymath}$

(ce qui est vrai ici car $(F_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est décroissante et

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i\in I_0} F_i=F_{i_0}}\end{displaymath}$

ou i

=sup $\lbrace i \in I_0 \rbrace$ ) alors on a

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i\in {\rm I\!N }} F_i \neq \emptyset}\end{displaymath}$

Exemple Les intervalles fermés et bornés de IRsont des espaces compacts pour la topologie définie par la valeur absolue.

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