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Notions de base

On considère dans tout ce chapitre un espace vectoriel réél ou complexe E. On notera k le corps de base. Donc k=IRou IC.
Définition $\Vert \Vert : E\longrightarrow {\rm I\!R }^+$ est une norme sur E si:

$x\in E$ $\Vert x\Vert$ =0 $\Leftrightarrow x=0$ .
$\lambda\in k, x\in E$ $\Vert\lambda x\Vert$ =| $\lambda$ | $\Vert x\Vert$ où | | désigne la valeurs absolue si k=IR ou le module si k=IC.
$\Vert \Vert$ vérifie l'inégalité triangulaire: $x,y\in E$ $\Vert x+y\Vert$ $\leq$ $\Vert x\Vert$ + $\Vert y\Vert$ .

Proposition Si $\Vert \Vert$ est une norme sur E alors | $\Vert x\Vert$ - $\Vert y\Vert$ | $\leq$ $\Vert x-y\Vert$ .
Démonstration A écrire!
Définition Un espace vectoriel normé est la donnée d'un espace vectoriel E et d'une norme $\Vert \Vert$ sur E. On notera (E, $\Vert \Vert$ ) le couple formé par l'espace vectoriel et sa norme.
Proposition fondamental Un evn est un espace métrique

: il suffit de poser, si x,y $\in$ E, d(x,y)= $\Vert x-y\Vert$ et d ainsi définie est une métrique

. Cette métrique sera appelée métrique associée à la norme $\Vert \Vert$ . Les espaces vectoriels normés sont donc des espaces métriques (et à fortioris des espaces topologiques

).
Exemple Quelques exemples d'evn :

(E=IR, $\Vert \Vert _k$ ) où si $x\in X$ et si $(x_i)_{i=1..n},$ désignent les coordonnées de x,

$\begin{displaymath}\Vert x\Vert _k=\displaystyle{(\sum_{i=1}^{n}\vert x_i\vert^k)^{1 \over k}}\end{displaymath}$

Si k=2, cette norme est la norme euclidienne.
E=IC et si x= $(x_1,....,x_n)\in$ IC:

$\begin{displaymath}\displaystyle {\Vert x\Vert _\infty=\sup_{i=1}^n \vert x_i\vert}\end{displaymath}$

Remarquons qu'en fait cette norme a pour métrique associée la métrique produit sur IC.

Définition On dira que deux normes $\Vert \Vert$

et $\Vert \Vert$

sont équivalentes si il existe $\lambda,\beta \in k / \forall x \in E \lambda$ $\Vert x\Vert$ $_1\leq$ $\Vert x\Vert$ $_2\leq \beta$ $\Vert x\Vert$

.
Proposition ``Etre équivalent à'' est une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes d'un evn.
Démonstration Réflexivité, transitivité, symétrie....
Proposition Si deux normes sont équivalentes, les métriques corespondantes à ces deux normes sont aussi équivalentes.
Démonstration Ecrire!!!
Corollaire Si on a deux normes équivalentes sur un espace vectoriel donné alors les topologies inhérentes à ces deux normes sont équivalentes.
Démonstration Les normes sont équivalentes, donc les métriques associées le sont

, et les topologies aussi

.
Remarque fondamentale En fait c'est encore + fort que cela car la complètude

est conservée par changement de normes équivalentes. Ce qui n'est pas le cas par changement de topologie équivalente. Si, par exemple, une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy

et qu'elle converge pour une norme donnée, il en sera de même pour tout autre norme équivalente.
Proposition L'application norme $\Vert \Vert : E\longrightarrow {\rm I\!R }^+$ est continue

sur E muni de la topologie induite par $\Vert \Vert$

. Elle est même 1-Lipschitzienne

.
Démonstration Si x et y sont éléments de E, | $\Vert x\Vert$ - $\Vert y\Vert$ | $\leq$ $\Vert x-y\Vert$ .
Proposition les homothéties vectorielles et les translations sont des applications continues

sur les evn.(Ce sont des isométries!!!).
Démonstration Soit (E, $\Vert \Vert$ ) un evn ,soit

la translation de vecteur v et

l'homothétie de rapport $\lambda$ . On a donc, si x et y sont des éléments de E: $\Vert T(x)-T(y)\Vert$ = $\Vert x+v-y-v\Vert$ = $\Vert x-y\Vert$ .

est donc 1-Lipschitzienne

ce qui implique le résultat.
D'autre part $\Vert H(x)-H(y)\Vert$ = $\Vert\lambda x- \lambda y\Vert$ = $\Vert\lambda(x-y)\Vert$ =| $\lambda$ | $\Vert x-y\Vert$ .

est alors $\lambda$ -Lipschitzienne

.Cqfd car

.
Proposition Soit (X, ${\cal O)}$ un espace topologique

et (F, $\Vert \Vert$ ) un evn. Notons $\cal C$ (X,F) l'ensemble des fonctions continues

de X dans F alors $\cal C$ (X,F) est un espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de montrer que $\cal C$ (X,F) est un sous espace vectoriel de l'espace des fonctions de X dans F. Il est tout d'abord clair que l'application nulle est élément de $\cal C$ (X,F). Soient

et $g \in \cal C$ (X,F), soient aussi $\alpha$ et $\beta$ dans k. Il suffit de vérifier pour tout x de X, et tout $\varepsilon>0$ il existe V $\in$ $\cal{V}$ (x)

tel que $\forall y\in V \Rightarrow$ $\Vert\alpha f(x) + \beta g(x)-\alpha f(y) - \beta g(y)\Vert$ < $\varepsilon$

. Fixons donc $\varepsilon>0$ et x $\in$ X. Comme f et g sont continues en x, on peut trouver des voisinages

de x

tels que $y \in V_1 \Rightarrow$ $\Vert f(x) -f(y)\Vert$ < ${\varepsilon \over 2 \alpha}$ et $y \in V_2 \Rightarrow$ $\Vert g(x)-g(y)\Vert$ < ${\varepsilon \over 2 \beta}$ . En choisissant pour V le voisinage de x: $V_1 \cap V_2$ et en appliquant l'inégalité triangulaire

à $\Vert\alpha f(x) + \beta g(x)-\alpha f(y) - \beta g(y)\Vert$ , on montre l'inégalité voulue. Comme x est quelconque dans X, on a bien prouvé que $\alpha f + \beta g$ est continue sur X

.
En a en particulier ici prouvé le corollaire suivant:
Corollaire

Une somme d'application continue est continue.
L'application définie comme le produit d'un scalaire et d'une fonction continue est continue.

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