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Théorèmes de Sylows

Définition On dit que le groupe fini (G,.) est un p-groupe si p est premier et si le cardinal de G est une puissance de p.

Proposition Si G est un p-groupe agissant sur un ensemble X et si X$^{G}$= $\lbrace x\in X; \forall g\in G, g.x=x \rbrace$ alors on a:

\begin{displaymath}\vert X\vert\equiv \vert X^G\vert\,(mod\,p)\end{displaymath}


Démonstration Soient x$_1$,...,x$_k$ des éléments de X tels que $\lbrace$ X$^{G}$,w(x$_1$),...,w(x$_k$) $\rbrace$ définit une partition de X. X$^{G}$ est en fait l'ensemble des éléments de X dont l'orbite est constituée d'un unique point. On suppose donc que pour tout i=1,...,k |w(x$_i$)|>1. Comme |w(x$_i$)| est un diviseur de |G|=p$^{\alpha}$ et que p est premier, |w(x$_i$)| est de la forme p$^{\alpha'}$ avec $\alpha'\geq$1. Donc p divise |w(x$_i$)| pour tout i=1,...,k. Mais comme X est la réunion disjointe des éléments de $\lbrace$ X$^{G}$,w(x$_1$),...,w(x$_k$) $\rbrace$ alors son cardinal est la somme des cardinaux de tout ces éléments et comme p divise chaque |w(x$_i$)|, |X|$\equiv$X$^{G}$ (mod p).

Définition Soit G un groupe de cardinal n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m. On dit que le sous groupe H de G est un p-Sylows de G si |H|=p$^\alpha$.

Voici un exemple de p-Sylow.

Proposition Soit le corps fini IF$^{p}$$\simeq$${\mathbb{Z}}$/p${\mathbb{Z}}$( p est un nombre premier). Considérons l'ensemble des matrices inversibles de rang n à coefficient dans IF$^{p}$. Cet ensemble, noté GLn(IF$^{p}$), est un groupe de cardinal m.p $^{{n(n-1)\over 2}}$ où m et n sont des entiers non nuls. Si l'on note T le sous ensemble de GLn(IF$^{p}$) des matrices triangulaires supérieures de rang n, à coefficients dans IF$^{p}$ et à éléments diagonaux tous égaux à 1, alors T est un p-Sylow de GLn(IF$^{p}$).

Démonstration On ne démontrera pas que GLn(IF$^{p}$) est un groupe. Ceci est un résultat de base d'algèbre linéaire. On ne démontrera pas non plus que T est un sous groupe de GLn(IF$^{p}$) car c'est relativement facile. Calculons par contre le cardinal de GLn(IF$^{p}$). Etudions la première colonne d'une matrice de GLn(IF$^{p}$). On peut choisir n'importe quelle valeur pour les éléments de cette colonne. La seule éventualité à éviter est que tout les éléments de cette colonne soient nuls simultanément. Cela nous fait donc p$^{n}$-1 possibilités pour cette première colonne. Etudions maintenant la deuxième colonne. Les éléments de cette colonne peuvent prendre n'importe quelles valeurs. Les seules conditions à vérifier sont que cette colonne ne soit pas dépendante de la première et qu'elle ne soit pas nulle. Il y a p-1 colonnes possibles dépendantes de la première et qu'une colonne nulle possible. Cela nous fait alors p$^{n}$-p possibilités pour la deuxièmre colonne. De même, par récurrence, on établit qu'il y a p$^{n}$-p$^{k}$ possibilités pour la k$^{ième}$ colonne. Donc |GLn(IF$^{p}$)|=(p$^{n}$-1)(p$^{n}$-p)...(p$^{n}$-p$^{n-1}$). Ce cardinal peut se re-écrire sous la forme: p.p$^{2}$...p$^{n-1}$.(p$^{n}$-1)(p$^{n-1}$-1)...(p-1)=p $^{1+2+...+n-1}$.(p$^{n}$-1)(p$^{n-1}$-1)...(p-1)=p $^{{n(n-1)\over 2}}$.(p$^{n}$-1)(p$^{n-1}$-1)...(p-1)
Donc, en posant m égal à la partie du produit précédent qui est après le premier facteur, on vient de montrer que |GLn(IF$^{p}$)|=m.p $^{{n(n-1)\over 2}}$.
Calculons maintenant le cardinal de T. Pour cela remarquons qu'il y a p$^{n-1}$ choix possibles pour la première ligne, p$^{n-k}$ choix possibles pour la k$^{ième}$ ligne. Au total, cela nous fait p.p$^{2}$...p$^{n-1}$ choix possibles pour une matrice de T. Ceci prouve que |T|=p $^{{n(n-1)\over 2}}$ et que T est un p-Sylow de GLn(IF$^{p}$).

Avant d'énoncer les théorèmes de Sylow, démontrons le lemme suivant qui nous sera fort utile pour la suite.

Lemme Soit G un groupe de cardinal n, p un diviseur premier de n tel que n=p$^\alpha$.m et p ne divisant pas m, soit H un sous groupe de G et S un p-sylow de G. Alors il existe g dans G tel que g.S.g$^{-1}\cap$H soit un p-sylow de H.

Démonstration Considérons le quotient G/S qui est en fait l'ensemble des classes à gauche de G relativement au sous groupe S: G/S= $\lbrace a.H ;a\in G\rbrace$. G agit sur G/S par translation à gauche: g.aS=(ga)S.

L'élément g$\in$ G est élément du stabilisateur de aS si et seulement si g.aS=aS. C'est à dire si et seulement si g est élément de aSa$^{-1}$. Réciproquement, on montre que si g est élément de aSa$^{-1}$ alors g $\in$Stab(aS).
H agit sur G/S par restriction de l'action de G. Le stabilisateur d'un élément aS pour cette nouvelle action est alors de la forme aSa$^{-1}\cap$H.

S étant un p-Sylow de G, |S|=p$^{\alpha}$. Comme aSa$^{-1}$ est un sous groupe conjugué de S, il a même cardinal que S. De plus, comme H est un sous groupe de G, son cardinal est, d'après le théorème de Lagrange, de la forme m'.p$^{\alpha'}$ où m' divise m et où $\alpha'\leq \alpha$. L'intersection de deux sous groupes d'un groupe est encore un sous groupe. Donc aSa$^{-1}\cap$H est un sous groupe de G. C'est de plus un sous groupe de H et de S. Son cardinal, toujours d'après le théorème de Lagrange, divise à la fois p$^{\alpha}$ et m'.p$^{\alpha'}$. Il est donc de la forme p$^{\alpha''}$ où $\alpha''$ est à la fois plus petit (ou égal) à $\alpha$ et à $\alpha'$. Notons que $\alpha$ dépend a priori de a. Supposons que pour tout a dans G, $\alpha''(a)<\alpha'$. Cette hypothèse revient à supposer que aSa$^{-1}\cap$H n'est jamais un p-Sylow de H. Alors, comme l'orbite d'un élément aS de G/S par l'action de H vérifie la formule |w(aS)|=|H|/|Stab(aS)| et que Stab(aS)=aSa$^{-1}\cap$H, on a |w(aS)|=m'.p $^{\alpha'-\alpha''}$. Comme pour tout a de G, on a supposé que $\alpha''(a)<\alpha'$ alors p divise |w(aS)| et ce $\forall a\in$G.
Mais $\lbrace w(aS);a\in G \rbrace$ définit une partition de G/S. La réunion de toutes ces orbites est égale à G/S. Le cardinal de G/S est donc divisible par p. Mais ceci est impossible car d'après le théorème de Lagrange |G/S|=m qui n'est pas divisible par p.
Nous avons donc abouti à une contradiction. Ceci nous permet d'affirmer qu'il existe un élément a de G tel que aSa$^{-1}\cap$H est un p-Sylow de H.

Théorème (Premier théorème de Sylow) Si G est un groupe de cardinal n et que n vérifie n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m, alors G possède un p-Sylow.

Démonstration Soit G un groupe comme dans l'énoncé du théorème. Le théorème de Cayley nous permet d'affirmer l'existence d'un morphisme injectif de G dans le groupe symétrique à n éléments Sn. Mais on a une injection évidente de Sn dans GLn(IF$^{p}$): a toute permutation $\phi$ de Sn, on fait correspondre l'application linéaire f définie par : si (ei)$_{i=1..n}$ est une base de (IF$^{p)}$$^n$ alors f(ei)=e$_{\phi(i)}$.
On réalise ainsi une injection de G dans GLn(IF$^{p}$). Ainsi, l'image d'un groupe par un morphisme étant un sous groupe du groupe d'arrivée du morphisme, et notre morphisme étant injectif (et surjectif sur son image) G est isomorphe à un sous groupe H de GLn(IF$^{p}$). De plus, comme on l'a vu dans l'exemple précédent, GLn(IF$^{p}$) possède un p-Sylow S. D'après le lemme précédent, il existe alors un élément a de GLn(IF$^{p}$) tel que aSa$^{-1}$$\cap$H est un p-Sylow de H. H contient donc un p-Sylow. Ce p-Sylow se transporte par l'application inverse de notre isomorphisme vers un p-Sylow du groupe G. Cqfd.

Théorème Soit G un groupe de cardinal n, n vérifiant n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m. G contient, d'après le premier théorème de Sylow, un ou des p-Sylows.

$\,$
Démonstration Considérons ${\cal A}=\lbrace S_1,...,S_k \rbrace$ l'ensemble des p Sylows de G. D'après le premier lemme de ce paragraphe, pour tout i=1..k, il existe un élément a de G tel que aS$_1$a$^{-1}$$\cap$S$_i$ soit un p-Sylow de S$_i$. Mais en raison de ce fait et des cardinaux respectifs de aS$_1$a$^{-1}$ et de S$_i$, on en déduit que aS$_1$a$^{-1}$=S$_i$. On démontre ainsi que tout les p-Sylows sont conjugués.
Remarquons à ce stade de la démonstration que si un p-Sylow est normal dans le groupe qui le contient, alors nécessairement, il est l'unique p-Sylow de ce groupe.
Faisons maintenant agir G par conjugaison sur $\cal A$: g.S$_i$=gS$_i$g$^{-1}$. Cette action est , avec ce qui vient d'être établi, bien définie. De plus, comme tout les p-sylows de G sont conjugués, cette action n'engendre qu'une et une seule orbite sur $\cal A$. Comme le cardinal de l'orbite d'un point par une action est un diviseur du cardinal du groupe définissant cette action, on en déduit que k est un diviseur du cardinal de G.
S$_1$ agit de même sur $\cal A$ par restriction de l'action de G sur $\cal A$.
Etudions le sous ensemble $\cal A$$^{S_1}$ de $\cal A$. S$_i$ est un élément de $\cal A$$^{S1}$ si et seulement si pour tout g de S$_1$, g.S$_i$.g$^{-1}$ est inclus dans S$_i$. Si on considère le sous groupe H de G engendré par S$_i$ et S$_1$, on en déduit que S $_i\triangleleft$H. Mais S$_i$ et S$_1$ sont deux p-Sylows de H. Donc, d'après la remarque faite précédemment, ceci implique que ces deux p-Sylows n'en forment qu'un: S$_1$=S$_i$. Le seul p-Sylow contenu dans $\cal A$$^{S_1}$ est donc S$_1$. Mais S$_1$ est un p groupe. Donc d'après la proposition établie tout au début de ce thème, $\vert\cal A\vert\equiv\vert\cal A$$^{S_1}$|=1 (mod p). Donc k$\equiv$1 (mod p), Cqfd.

Voici un corollaire immédiat de ce qui vient d'être démontré.

Corollaire Soit G un groupe de cardinal n, n vérifiant n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m. Soit k le nombre de p-Sylow dans G. Alors k divise m et k est premier avec p.

Démonstration Cela découle directement des deux théorèmes précédents.

Remarquons avant d'en terminer avec ce thème que le premier théorème de Sylow implique le théorème de Cauchy.

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