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Théorème de Cauchy

Théorème de Cauchy Soit (G,.) un groupe fini et p un diviseur premier de l'ordre de G. Alors il existe un élément d'ordre p dans G.
Démonstration Soit p un diviseur premier de |G|. Considérons l'ensemble

\begin{displaymath}X=\lbrace (x_1,...,x_p)\in \underbrace{G\times...\times G}_{p\,fois};x_1.x_2.\, ...\, .x_p=e \rbrace\end{displaymath}

où e désigne le neutre de G. Pour choisir un élément x de X, nous devons faire p-1 choix d'éléments dans G, donc le cardinal de X est |G|$^{p-1}$. On fait agir ${\mathbb{Z}}$/p${\mathbb{Z}}$sur X de la façon suivante: (On commettra sans aucun scrupule l'abus de notation qui consiste à identifier la classe d'équivalence de i$\in$${\mathbb{Z}}$et l'élément de ${\mathbb{Z}}$compris entre 0 et p-1 qui est un représentant de cette classe d'équivalence. Autrement dit, on ne sera pas gêné par l'égalité $\overline i$=k où k est le représentant de $\overline i$ qui est compris entre 0 (compris) et p (non compris)). Si x est l'élément (x$_1$,...,x$_p$) de X et si $\overline i$ est la classe d'équivalence de i (0$\leq$i<p) dans ${\mathbb{Z}}$/p${\mathbb{Z}}$, alors $\overline i$.x=(x $_{\overline{1+i}}$,...,x $_{\overline{p+i}}$). On vérifie sans peine que ceci définit bien une action sur X. Supposons que G ne possède aucun élément d'ordre p.
Remarquons que l'orbite de (e,...,e)$\in$X n'a qu'un élément. Si un autre élément x de X n'a que lui même dans son orbite, alors en particulier, x=(x $_{\overline{1}}$,...,x $_{\overline{p}}$)= (x $_{\overline{1+1}}$,...,x $_{\overline{p+1}}$)=(x$_2$,...,x$_p$,x$_1$)=(x$_3$,...,x$_1$,x$_2$)=... . Et donc x$_1$=x$_2$=...=x$_p$ et x$_1$$^{p}$=e, ce qui implique que G possède un élément x$_1$ d'ordre p et est contraire à notre hypothèse de départ. On suppose donc que (e,...,e) est le seul élément de X possèdant une orbite ne contenant que lui même. Si x est un élément de X, |w(x)| est alors un diviseur de |${\mathbb{Z}}$/p${\mathbb{Z}}$|=p différent de 1. Comme p est premier, ceci implique que |w(x)|=1. Choisissons alors des éléments x de X dont les orbites respectives partitionnent X. La formule des classes nous donne:

\begin{displaymath}\vert X\vert=\vert X^G\vert+\sum_{x\,partitionnant\,X} \vert w(x)\vert.\end{displaymath}

Donc |X| est de la forme 1+m.p où m désigne le nombre d'orbites de taille plus grande que 1 et partitionnant X. Ceci contredit le fait que |X| est de cardinal |G|$^{p-1}$ qui est divisible par p. Nous venons alors de démontrer par l'absurde que G possèdait au moins un élément d'ordre p.

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