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Continuité et compacité

Théorème fondamental L'image d'un compact par une application continue est compacte.
Démonstration Soient K un compact de (X, $\cal{O}\,$ ), (Y, $\cal{O'}$ ) un espace topologique et $f:\,X\longrightarrow Y$ une application continue de X dans Y

. Soit $(U_i')_{\scriptsize {i \in I}}$ un recouvrement ouvert de

(pour la topologie induite

sur

...). On a donc

$\begin{displaymath}f(K)=\displaystyle{\bigcup_{i \in I} U_i}.\end{displaymath}$

Rappelons que si A et B désignent deux ensembles quelconques de Y alors

$\begin{displaymath}f^{-1}(A \cup B)\subset f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B).\end{displaymath}$

Alors

$\begin{displaymath}K \subset f^{-1}(f(K)) \subset \displaystyle{f^{-1}(\bigcup_{i \in I} U_i)\subset \bigcup_{i \in I}f^{-1}(U_i)}.\end{displaymath}$

Mais

étant continue

, chaque $f^{-1}(U_i)\cap K$ est un ouvert de K (pour la topologie induite

de X sur K).Comme K est compact, on peut extraire de la famille $(f^{-1}(U_i)\cap K)_{\scriptsize {i \in I}}$ un recouvrement fini de K $(f^{-1}(U_i)\cap K)_{\scriptsize {i \in I_0}}$ (où I

est une sous partie finie de I). On a alors, comme

$\begin{displaymath}f(A)\cup f(B)=f(A\cup B),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f(K)\subset \displaystyle{f(\bigcup_{i \in I_0}f^{-1}( U_i)\c... ...cup_{i \in I_0}f(f^{-1}( U_i))\subset \bigcup_{i \in I_0} U_i}.\end{displaymath}$

Et donc, du recouvrement initial de

, on a extrait un recouvrement fini, ce qui prouve que

est compact.
Remarque Si

est un homéomorphisme

de (X, $\cal{O}\,$ ) dans (Y, $\cal{O'}$ ) et que X est compact, il en est de même de Y.

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