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Le théorème de Baire

Définition On dit qu'un espace topologique (Y, $\cal{O}$ ) (ou un espace métrique (Y,d))est de Baire si pour toute famille d'ouvert $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ de Y vérifiant: $\forall n \in {\rm I\!N\,}\,,\,\overline U_n=Y$

, alors $\overline {\displaystyle{\bigcap_{n\in {\rm I\!N }} U_n}}=Y$

. Remarque Cela revient à dire que (Y, $\cal{O}$ ) est de baire si pour toute famille de fermé d'intérieur vide

alors la réunion de ces fermés est encore d'intérieur vide.
Théorème (de Baire) Si (X,d) est un espace métrique complet alors il est de Baire.
Démonstration Soit $(U_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ vérifiant: $\forall n \in {\rm I\!N } , \overline U_n=X .$ Montrons que l'intersection de tout les éléments de cette famille est dense

dans X. Soit x un élément de X. Comme

est dense

dans X, pour tous $\varepsilon >0$ , $B(x,\varepsilon)$ $\cap U_1\neq \emptyset$

. Fixons donc $\varepsilon >0$ .Comme cette intersection est ouverte (intersection de deux ouverts

), Il existe

dans X tel que $B_{f}(x_1,r_1')$ $\subset$ $B(x,\varepsilon)$ $\cap U_1\neq \emptyset$

. Posons

=inf(

, ${\frac{\varepsilon}{2}}$ ). On a donc $B_{f}(x_1,r_1)$ $\subset$ $B(x,\varepsilon)$ $\cap U_1\neq \emptyset$ . Supposons cette construction faite à l'ordre n, c'est à dire que l'on suppose trouvés n points

de X et n rééls strictement positifs $r_1,...,r_{n}$ tels que pour tout i dans $\lbrace 1,..,n \rbrace$ , $B_{f}(x_i,r_i)$ $\subset$ $B(x_{i-1},r_{i-1})$ $\cap U_{i}\neq \emptyset$ et $r_i \leq {\frac{\varepsilon}{2^i}}$ (On pose $r_0=\varepsilon$ ). Montrons que l'on peut la continuer à l'ordre n+1. Comme $U_{n+1}$ est dense dans X,

$\cap U_{n+1}\neq \emptyset$ . Mais, comme précedemment, cette intersection est un sous ensemble ouvert de X. On peut donc trouver $r_{n+1}'>0$ tel que $B_{f}(x_{n+1},r_{n+1})$ $\subset$ $B(x_{n},r_{n})$ $\cap U_{n+1}\neq \emptyset$ . Posons enfin $r_{n+1}$ =inf( $r_{n+1}'$ , ${\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}}$ ) et on a bien effectué la construction voulue.
Remarquons maintenant que la famille $(B(x_n,r_n))_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est une suite décroissante de fermé dont le diamètre

tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Comme X est complet, ceci implique que $\displaystyle {\bigcap_{n \in {\rm I\!N }} B(x_n,r_n)}$ est un singleton $\lbrace x_{\infty} \rbrace$ où $x_{\infty}$ est élément de X

. Mais $x_{\infty}$ est, par constuction élément de $B(x,\varepsilon)$ et de $U_n \forall n \in {\rm I\!N }$ . Donc

$\begin{displaymath}x_{\infty} \in B(x,\varepsilon)\cap {\displaystyle{\bigcap_{n\in {\rm I\!N }} U_n}}\end{displaymath}$

ce qui implique que

$\begin{displaymath}B(x,\varepsilon) \cap {\displaystyle{\bigcap_{n\in {\rm I\!N }} U_n}} \neq \emptyset\end{displaymath}$

et comme x et $\varepsilon$ sont arbitraires, que $\displaystyle{\bigcap_{n\in {\rm I\!N }} U_n}$ est dense dans X.

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