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Les espaces complets jouent en analyse un rôle fondamental. La notion de complétude est, en effet, à l'origine de théorèmes aussi importants que le théorème du point fixe en topologie 
(duquel découlent les théorème d'inversion locale en calcul différentiel et de Cauchy-Lipschitz dans la théorie des équations différentielles), le théorème de Baire (toujours en Topologie) (et duquel découlent le théorème de Banach-Steinhaus,le théorème de l'application ouverte...), et le théorème de projection de Riesz dans la théorie des espaces hilbertiens... La pluspart de ces théorèmes sont des théorèmes d'existence (existence d'un point fixe pour le théorème du point fixe, existence de l'inverse d'une fonction pour le théorème d'inversion locale, existence des solutions à une équation différentielle pour le théorème de Cauchy-Lipschitz...). C'est la notion de complétude qui, en garantissant l'existence d'une limite pour une certaine catégorie de suite, permet de construire chacun de ces objets.
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques