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Suites dans un espace métrique

Définition Rappelons qu'une suite est un ensemble de points indexés par les éléments de INdans X. Soit $\phi: {\rm I\!N }\longrightarrow {\rm I\!N }$ une application croissante. L'ensemble de points $(x_{\phi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est encore un ensemble de points indexés par INet est appelé suite extraite ou sous suite de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$.
Définition On appelera valeur d'adhérence de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ tout élément x de X tel que $\forall \varepsilon >0 \exists n \in {\rm I\!N } d(x,x_n)<\varepsilon $.
Remarque x est valeur d'adhérence de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ si et seulement si, pour tout voisinage V de x, il existe n dans INtel que x$_n$ soit élément de V.
Remarque Tout élément de $\lbrace x_n;n\in{\rm I\!N }\rbrace$ est valeur d'adhérence de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$.
Définition On appelera point d'accumulation de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ toute valeur d'adhérence x de cette suite qui n'est pas un élément de $\lbrace x_n;n\in{\rm I\!N }\rbrace$.
Définition On dira que la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de X converge vers l'élément x de X si:

\begin{displaymath}\forall \varepsilon>0 \exists N \in {\rm I\!N } \forall n>N d(x_n,x)<\varepsilon\end{displaymath}

Définition x est la limite de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ quand n tend vers l'infini. On écrira: $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty} x_n}$=x
Remarque Si x est limite de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ alors c'est l'unique point d'accumulation de cette suite.
Proposition On a équivalence entre $ $
Démonstration Supposons que x soit valeur d'adhérence de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$. Si x est élément de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ alors il existe $n_0 \in {\rm I\!N }$ tel que x=$x_{n_0}$ et on pose, pour tout n dans IN, $\Phi(n)$=$n_0$. La sous suite $(x_{\Phi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge alors clairement vers x. Si x n'est pas élément de la suite ( c'est donc un point point d'accumulation), on peut trouver m dans INtel que x$_m$ soit élément de $B(x,1)$ . On pose $\phi(0)=m$. Supposons construit jusqu'à l'ordre N une application $\phi: \lbrace 1..N\rbrace\longrightarrow {\rm I\!N }$ croissante et une suite $(x_{\phi(i)})_{\scriptsize {i \in \lbrace 1..N\rbrace}}$ telle que pour tout i $\in \lbrace 1..N \rbrace$, x$_{\phi(i)}\in$ $B(x,{1\over i})$. Construisons l'élément x$_{\phi(N+1)}$. Considérons pour cela la boule $B(x,{1 \over N+1})$ . Cette boule est bien entendue un voisinage ouvert de x. Supposons que l'ensemble $\lbrace x_i ;i>N \rbrace$ n'intersecte pas cette boule. Alors on pourrait facilement construire un voisinage de x qui n'intersecte pas $\lbrace x_i; i \in {\rm I\!N }\rbrace$. Ce qui impliquerait que x n'est pas valeur d'adhérence de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et qui est contraire à notre hypothèse de départ. L'ensemble $\lbrace x_i; i>N \rbrace$ intersecte donc $B(x,{1 \over N+1})$ en un ensemble non vide. Soit x$_m$ un point de cette intersection. On a, par construction, m>N. Posons $\phi(N+1)=m$. On a bien $\phi(N+1)>\phi(N)$ et x $_{\phi(N+1)} \in $ $B(x,{1 \over N+1})$. On construit ainsi notre suite $(x_{\phi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ par récurrence.
Il faut encore montrer qu'elle converge vers x. Choisissons donc $\varepsilon>0$. Comme la suite $(1/n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers 0 , pour N assez grand, on peut supposer que si n>N alors 1/n<$\varepsilon$. Mais alors, si n>N, on a, par construction de $(x_{\phi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$, x $_\phi(n) \in $ $B(x,{1 \over n})$$\subset$ $B(x,\varepsilon)$. Donc, si n>N, d(x$_n$,x)<$\varepsilon$, Cqfd .
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