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Définition
Un sous ensemble U de X sera dit ouvert si il est vide ou si pour tout élément x de cet ensemble on peut trouver une boule ouverte de rayon suffisamment petit en sorte qu'elle soit toute entière contenue dans U.
Définition
L'ensemble
de tous les ouverts de X s'appelle la topologie
de X.
Proposition
- X est ouvert.
- Une réunion quelconque d'ensemble ouverts est ouverte
- Une intersection finie d'ensembles ouverts est ouverte.
Démonstration Contentons nous de prouver le cas de l'intersection. Les deux autres cas sont absoluments triviaux.
Soit n
. On considère une famille de n ensembles ouverts
. Soit x un point dans l'intersection de ces n ensembles. x est donc un point de chacun de ces ouverts. On peut alors trouver, pour tout i=1..n un réél
tel que la boule de centre
et de centre x
soit incluse dans
. Posons
. La boule
est alors contenue dans chacun des
et on a ainsi trouvé une boule ouverte centrée en x et contenue dans l'intersection des
. Cette intersection est donc bien ouverte.
Définition
Soit V
et x
X
On dira que V est un voisinage de x si il existe un ouvert U de X tel que x soit élément de U et U soit inclus dans V
.
On notera
(x) l'ensemble de tous les voisinages de x.
Proposition
- V

(x)

V.
- Si O est ouvert dans X et si x
O alors O
(x)
Proposition Un sous ensemble O de X est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
Démonstration
D'après la remarque précédente, le sens direct est évident. Montrons la réciproque. Supposons donc que O est un ensemble qui est voisinage de chacun de ses points. Pour tout x dans O, on peut donc trouver un sous ensemble O(x) de O tel que O(x) soit ouvert. On peut même écrire:
O est donc réunion quelconque d'ouverts
. Ceci implique évidemment que O est ouvert.
Définition Le complémentaire d'un sous ensemble ouvert de X sera appelé sous ensemble fermé.
Proposition
- X et
sont fermés.
- Une réunion finie de fermés est fermée.
- Une intersection quelconque de fermés est fermée.
Démonstration C'est trivial, via les égalités suivantes (A et B désigne deux ensembles quelconques):
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques