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Théorème (de Tychonov) Un produit fini d'espace métrique compact est compact pour la métrique produit
.
Démonstration On considère la famille d'espace métrique
et
où d désigne la métrique produit. Il s'agit donc de montrer que (X,d) est compact. Pour ce faire, nous allons considérer une suite
=
de X et montrer qu'elle possède une sous suite
convergente
, ce qui, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass
, nous permettra de conclure. Tout d'abord, comme
est compact, de la suite
, on peut extraire une sous suite convergente
. La suite
=
est donc une suite extraite de
et la première suite coordonnée de cette suite est convergente. Remarquons aussi que toute suite extraite d'une suite convergente est convergente et converge vers la même limite que la suite de départ. La suite
est une suite de
et possède donc une sous suite convergente. Cette sous suite est de la forme
. De plus d'après la remarque précédente, la suite
est une suite extraite de
et convergeant dans
. La suite
=
est donc une suite extraite de
. De plus, les deux première suites coordonnées de cette suite sont convergentes. Un raisonement par récurrence nous permet encore de trouver k-2 applications
, telles que
est une suite extraite de
et pour laquelle toutes les suites coordonnées sont des suites convergentes. Cette suite extraite est donc convergente
, Cqfd.
Remarque Ce théorème est encore vrai dans le cas où le produit est dénombrable.
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