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Applications linéaires

Soient (E, $\Vert \Vert$ ) et (E, $\Vert \Vert$ ') deux k-evn.
On note ${\cal L}$ (E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F et ${\cal L}_c$ (E,F) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F.
Théorème Soit $f \in {\cal L}$ (E,F). Les affirmations suivantes sont équivalentes:

est élément de ${\cal L}_c$ (E,F).
est continue en l'origine de E.
f est bornée sur la boule unitée de (E, $\Vert \Vert$ ).
f est lipschitzienne.

Démonstration Si

est élément de ${\cal L}_c$ (E,F), il est claire que

est continue en l'origine.
Supposons que

soit continue en l'origine et montrons qu'elle est bornée sur la sphère unité. La continuité en l'origine de

se traduit par : $\forall \varepsilon>0 \exists \eta>0$ $\Vert x\Vert$ < $\eta \Rightarrow$ $\Vert f(x)\Vert$ $<\varepsilon$

. Soit encore: $\forall \varepsilon>0 \exists \eta>0$ $\Vert{x \over \eta}\Vert$ < $1 \Rightarrow$ $\Vert f({x \over \eta})\Vert$ $<{\varepsilon \over \eta}$ ce qui implique donc que si x $\in$

alors il existe un réél r tel que $\Vert f(x)\Vert$ <r. Si

est bornée sur la boule unité par un réél strictement positif x, pour tout élément x de E, ${x \over \Vert x\Vert}$ est élément de

et $f({x \over \Vert x\Vert})\leq m$ . Autrement écrit, Si x $\in$ E, $f(x)\leq m \Vert x\Vert$ et f est bien Lipschitzienne

. Si f est Lipschitzienne sur E, il est claire que f est continue

. On a alors prouvé le théorème.
Proposition ${\cal L}_c$ (E,F) a une structure de k-espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de vérifier ${\cal L}_c$ (E,F) est un sous espace vecoriel de ${\cal L}$ (E,F). Mais sachant qu'une somme d'application continue est continue

, que l'application nulle est élément de ${\cal L}_c$ (E,F) et que la fonction produit d'un scalaire et d'une application continue est continue

, on vérifie les axiomes qui font de ${\cal L}_c$ (E,F) un sous espace vectoriel de ${\cal L}$ (E,F).
Si $f \in {\cal L}_c$ (E,F), on pose

$\begin{displaymath}\vert\vert\vert f\vert\vert\vert=\sup_{\Vert x\Vert\leq 1}\Vert f(x)\Vert'.\end{displaymath}$

Proposition $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ est une norme sur ${\cal L}_c$ (E,F).
Démonstration Comme les éléments de ${\cal L}_c$ (E,F) sont bornés sur la sphère unité de E, il est claire que $\vert\vert\vert \vert\vert\vert: {\cal L}_c(E,F)\longrightarrow {\rm I\!R }^+$ . Si une application linéaire continue vérifie $\vert\vert\vert f\vert\vert\vert=0$ alors elle est nulle sur la boule unitée de E et donc, par homothétie, sur E tout entier. Réciproquement, l'application nulle vérifie $\vert\vert\vert\vert\vert\vert$ =0. Les deux axiomes qui restent à vérifier pour montrer que $\vert\vert\vert f\vert\vert\vert$ est une norme sont validés grâce au fait, justement, que $\Vert \Vert$ est une norme sur E.
Conclusion ( ${\cal L}_c$ (E,F), $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ ) est un k-evn.
Proposition Si E est de dimension finie, alors toute application linéaire de E dans F est continue.
Démonstration Si E est de dimension finie, alors toutes les normes sont équivalentes sur E

. Considérons alors une base $(e_i)_{\scriptsize {i =1..k}}$ de E et si x= $x_1 e_1+...+x_k e_k \in$ E, la norme sur E $\Vert x\Vert$ = $\vert x_1\vert+...\vert x_k\vert$ . On a alors $\Vert f(x)\Vert$ '= $\Vert x_1 f(e_1)+...+x_n f(e_n)\Vert$ ' $\leq \vert x_1\vert$ $\Vert f(e_1)\Vert$ '+... $\vert x_k\vert$ $\Vert f(e_k)\Vert$ '. Posons M= $sup \lbrace \Vert f(e_i)\Vert';i=1..k \rbrace$ . Notre inégalité se réécrit: $\Vert f(x)\Vert$ ' $\leq$ M $\Vert x\Vert$ ce qui prouve la continuité de

.
Terminons par une définition et un résultat supplémentaire à propos de ( ${\cal L}_c$ (E,F), $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ ):
Définition Un espace vectoriel normé complet pour la métrique associée à sa norme est appellé un espace de Banach.
Lemme Si $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy

dans ( ${\cal L}_c$ (E,F), $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ ) alors $(\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est bornée dans IR.
Définition Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors pour tout n de IN, il existe

dans INet $x_{m_n}$ dans la boule unité fermé de E

tels que $\Vert f_{m_n}(x_{m_n})\Vert'>n$ . Pour tout N dans INon peut alors trouver

et $m_{k'}$ plus grands que N et tels que $\Vert f_{m_k}(x_{m_{k'}})\Vert'>1$ . La suite $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne peut alors être de Cauchy. D'où le lemme par contradiction.
Proposition Si (F, $\Vert \Vert$ ') est un espace de Banach alors il en est de même pour ( ${\cal L}_c$ (E,F), $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ ).
Démonstration Soit $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite de Cauchy

de ( ${\cal L}_c$ (E,F), $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ ). Alors $\forall \varepsilon>0 \exists N ; m,n>N \Rightarrow \vert\vert\vert f_n-f_m \vert\vert\vert.$ Mais si x est élément de E, on a $\Vert f_n(x)-f_m(x)\Vert$ ' $\leq \vert\vert\vert f_n-f_m \vert\vert\vert$ $\Vert x\Vert$ . Donc pour tout x de E, $(f_n(x))_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy. F étant complet pour sa norme

, cette suite converge vers un élément

(x) de F

. Cela nous permet de définir une application

de E dans F.
Montrons que l'application

est le bon candidat pour la limite de $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ . Tout d'abord ,

est linéaire: si x et y sont éléments de E, $\alpha$ et $\beta \in$ k alors:
$f(\alpha x+\beta y)=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(\alpha x+\beta y)}$ = $\alpha$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)}$ + $\beta$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(y)}$ = $\alpha f(x)+\beta f(y)$ . Cqfd.
Montrons aussi que

est continue: si x $\in$ $B_{f}(0,1)$ $\subset$ E alors:
$\Vert f(x)\Vert$ ' $\leq$ $\Vert f(x)-f_n(x)+f_n(x)\Vert$ ' $\leq$ $\Vert f(x)-f_n(x)\Vert$ '+ $\Vert f_n(x)\Vert$ ' $\leq$ + $\Vert f(x)-f_n(x)\Vert$ + $\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert$ .
Donc

$\begin{displaymath}\displaystyle{\sup_{\Vert x\Vert \leq 1} \Vert f(x)\Vert' \le... ...}( \Vert f(x)-f_n(x)\Vert')+\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert}\end{displaymath}$

La quantité sup $\lbrace$ $\Vert f(x)-f_n(x)\Vert$ ; $\Vert x\Vert \leq 1\rbrace$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini et d'après le lemme

, la suite $(\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est bornée dans IR. Donc sup $\lbrace$ $\Vert f(x)\Vert$ ; $\Vert x\Vert \leq 1\rbrace$ est bornée et

est continue sur E

. Reste encore à montrer que $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers

pour la norme $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ . Soit $\varepsilon>0$ . Il existe N $\in$ INtel que si p,q>N alors $\vert\vert\vert f_p-f_q\vert\vert\vert<\varepsilon$ . Fixons x dans E On a alors $\Vert f_p(x)-f_q(x)\Vert$ ' $\leq \vert\vert\vert f_p-f_q\vert\vert\vert$ $\Vert x\Vert$ $\leq \varepsilon$ $\Vert x\Vert$ . Fixons p $\geq$ N et faisons tendre q vers l'infini. Cela donne: $\Vert f_p(x)-f(x)\Vert$ ' $\leq \varepsilon$ $\Vert x\Vert$ . Comme x est quelconque dans E, on peut écrire $\vert\vert\vert f_p-f\vert\vert\vert \leq \varepsilon$ pour p>N, ce qui nous assure de la convergence de $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ vers

pour la norme $\vert\vert\vert \vert\vert\vert$ .

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