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Homomorphisme de groupe

On considère dans ce paragraphe deux groupes (G, $\perp$ ) et (H, $\top$ ). On note $e_{G}$ et $e_{H}$ les neutres respectifs de G et H. ( $\top$ se prononce truc).
Définition On dit qu'une application $f:G\longrightarrow H$ est un homomorphisme de groupe si:

$f(e_{G})=e_H$ .
Si x et y sont éléments de G, $f(x \perp y)=f(x)\top f(y)$ .

De plus:

Si G=H, nous dirons que est un endomorphisme.
Si est bijective, nous dirons que f est un isomorphisme. Si il existe un isomorphisme entre G et H, nous dirons que G et H sont isomorphes et nous noterons G $\simeq$ H.
Si est à la fois un isomorphisme et un endomorphisme, nous dirons que est un automorphisme.

Remarque La notion d'isomorphisme joue en algèbre un rôle dual à celui des homéomorphismes en topologie

ou des difféomorphismes en géométrie différentielle. Des groupes qui seront isomorphes auront les mêmes propriétés algébriques. Ainsi, l'étude algébrique d'un groupe pourra se faire sur n'importe quel groupe qui lui est isomorphe.
Proposition

Soit x un élément de G, $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$ .
Démonstration Choisissons x dans G. On a $e_H=f(e_G)=f(x \perp x^{-1})=f(x)\top f(x^{-1})$ et donc par définition de l'inverse d'un élément d'un groupe, $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$

.
Définition

Soit f un homomorphisme de G dans H. Nous noterons

l'ensemble $\lbrace x \in G \, ; \, f(x)=e_H\rbrace$ . Cet ensemble s'appelle le noyau de l'homomorphisme f.
Remarque En allemand, noyau se dit Kernel.
Remarque Le noyau d'un homomorphisme n'est jamais vide. En effet, le neutre du groupe de départ est toujours élément du noyau.
Théorème Soit f un homomorphisme entre G et H. On a équivalence entre: