Dans tout ce paragraphe on s'intéresse à un groupe G agissant sur un ensemble X via une action .
Proposition La relation sur X définie par : si x, y X,x
y
y
w(x) est une relation d'équivalence sur X
.
Démonstration Comme d'habitude réflexitivité, symétrie, transitivité...
Remarque Les actions de groupes nous permettront donc de partitionner des ensembles suivant des classes d'équivalence.
Proposition Si x est élément de X alors Stab(x) est un sous groupe de G.
Démonstration Remarquons que e est toujours élément de stab(x). Remarquons aussi que si gStab(x) alors x=e.x=(g
.g).x=(g
.(g.x))=g
.x. Donc g
est élément de Stab(x). Soient maintenant g,g'
Stab(x), alors on vérifie facilement que g.g'
Stab(x)
.
Proposition Si x et y X sont éléments d'une même orbite alors stab(x) et stab(y) sont des sous groupes conjugués de G
.
Démonstration Comme x et y sont dans une même orbite, il existe hG tel que h.x=y. Mais alors si g
Stab(x), h.g.h
Stab(y): h.g.h
.y=h.g.x=h.x=y. Donc h.Stab(x).h
Stab(y). On montrerait de même que h
.Stab(y).h
Stab(x), Ce qui nous prouve que h.Stab(x).h
=Stab(y) et que ces deux sous groupes sont conjugués
.
Proposition Soit xX. On a une bijection entre G/stab(x)
et w(x)
.
Démonstration Afin de le démontrer cela nous allons définir une application G/Stab(x)
w(x) par : si
G/Stab(x) alors
(x)=g.x.
Montrons que est bien définie: si g et g' sont des représentants de
alors il existe h
Stab(x) tel que g'=g.h
. Donc g'.x=g.h.x=g.x.
ne dépend donc pas du représentant
de
choisie et est donc bien définie.
Montrons que est injective: Si g.x=g'.y alors g'
.g est élément de Stab(x). Autrement dit
et
.
est donc injective
.
est surjective: Si y
w(x) alors par définition de w(x), il existe g
G tel que g.x=y. Donc
(g)=y.
La proposition est maintenant démontrée.
Corollaire Si G est fini,
=
. (Si A est un ensemble |A| désigne le cardinal de A).
Démonstration C'est immédiat par application du théorème de Lagrange.
Proposition On suppose que G est fini. Soit
un sous ensemble d'éléments de X tel que
est une partition de X. Alors
Théorème Formule de la moyenne On suppose G de cardinal fini et agissant sur un ensemble X. Alors si n désigne le nombre d'orbites distinctes de l'action,si désigne le sous ensemble de X composé d'un représentant pour chacune de ces orbites, on a:
Démonstration Considérons un sous ensemble de X comme dans l'énoncé du théorème. Nous allons nous intéresser à l'ensemble G
X, et plus précisément au sous ensemble
de ce dernier définit par
. On a