monter: Espaces métriques connexes
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Proposition Si un sous ensemble U de X est connexe, il en est de même de son adhérence.
Démonstration Soit
une application continue. (L'adhérence de U est munie de la topologie induite de celle de X et
est muni de la topologie discrète ). est donc continue sur U. Mais U étant connexe, ceci implique que est constante sur U. On peut par exemple supposer que vaut 1 sur U. Soit x un élément de
Supposons que (x)=0. Comme est continue et que
est un ouvert de
muni de la topologie discrète,(0) est un ouvert de l'adhérence de U contenant x. C'est donc, en particulier, un voisinage de x . Mais comme x est adhérent à U , ce voisinage intersecte nécessairement U, et donc, par construction de ce voisinage, U possède des points dont l'image par est nulle. Ce qui est absurde, par hypothèse. Donc sur l'adhérence de U et cette adhérence est donc belle et bien connexe. Cqfd.
Proposition Soient
une famille de sous ensembles connexes de X tels
Alors:
est connexe.
Démonstration Notons U la réunion des
et supposons qu'il existe une application continue
. Soit un point de l'intersection des
. La restriction de à , i étant fixé dans I, est encore une application continue à valeurs dans
. Comme est connexe, il s'en suit que f est constante sur . On peut supposer, par exemple, que vaut 0 sur . On aura donc . i étant quelconque dans I, f est alors constante sur chaque
. Mais l'égalité implique que est nulle sur tout
et donc que est nulle sur U et donc constante sur U. Ce qui implique que U est connexe. Cqfd.
Définition Soit x un élément de X. On appelle composante connexe de x la réunion des sous ensembles connexes de X contenant x.
Proposition Soit x un élément de X.
- La composante connexe de x est le plus grand connexe de X contenant x.
- La composante connexe de x est une partie fermée de X.
Démonstration La première partie de la proposition est évidente, par définition de la composante connexe d'un point . La seconde partie s'en déduit aussitôt car, rappelons-le, si un ensemble est connexe il en est de même de son adhérence qui de plus est fermée . Donc si U est le plus grand connexe de X contenant x, il est nécessairement égale à son adhérence qui est aussi connexe et qui contient aussi x.
Proposition Soit
une famille d'espaces métriques connexes. Alors Z, l'espace produit des est connexe pour la métrique produit .
Démonstration Soient et deux ouverts de Z non vides et partitionnants Z. Fixons et notons le projecteur de Z sur . On a:
et
. Les projecteurs étant des applications ouvertes , et sont des ouverts de . Ils définissent donc une partition de en deux ouverts disjoints. Mais étant connexe, cela implique, par exemple, que
et
. Cela implique par ailleurs que et et que Z est connexe.
Réciproquement, les projecteurs étant continues sur Z pour la métrique produit et la topologie de , si l'on suppose que Z est connexe, il en est de même de .
Corollaire ICmuni de l'une quelconque de ses normes est connexe comme produit de IRpar lui même.
Corollaire IR muni de l'une quelconque de ses normes est connexe.
Définition Soient x et y deux éléments de X. On appelle chemin d'extrémités x et y (ou chemin joignant x et y de X toute application continue
telle que et .
Définition On dira que (X, est connexe par arc si tout couple d'éléments de X peut être joint par un chemin.
Proposition Si X est connexe par arc alors X est connexe.
Démonstration Supposons donc que X n'est pas connexe. Soit alors
, une partition de X en deux fermés. Soient aussi x un élément de U et y un élément de V. Comme X est connexe par arc, il existe un chemin
telle que et . Notons
. Comme est un sous ensemble majoré de IR, il possède une borne supérieur que l'on note . Notons, d'autre part,
. est un sous ensemble minoré de IRet possède, par conséquent,une borne inférieure que l'on note . On a nécessairent . Supposons que ce ne soit pas le cas, alors . On peut alors trouver un réél t élément de . Mais l'élément c(t) de X ne peut alors ni être élément de U, ni de V. Ce qui est impossible. Notons
étant la borne supérieure de , on peut construire une suite
d'éléments de convergeante vers . Mais U étant fermé et c continue ,
=c() est élément de U. De même, on montrerait que c() est élément de V. Mais U et V ont été supposés disjoints. On aboutit alors à une contradiction et X est bien connexe.
Remarque Attention, la réciproque est fausse.
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques