monter: Espaces métriques connexes
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Proposition Si un sous ensemble U de X est connexe, il en est de même de son adhérence
.
Démonstration Soit
une application continue. (L'adhérence de U est munie de la topologie induite
de celle de X et
est muni de la topologie discrète
).
est donc continue sur U. Mais U étant connexe, ceci implique que
est constante sur U. On peut par exemple supposer que
vaut 1 sur U. Soit x un élément de
Supposons que
(x)=0. Comme
est continue et que
est un ouvert de
muni de la topologie discrète,
(0) est un ouvert de l'adhérence de U contenant x. C'est donc, en particulier, un voisinage de x
. Mais comme x est adhérent à U
, ce voisinage intersecte nécessairement U, et donc, par construction de ce voisinage, U possède des points dont l'image par
est nulle. Ce qui est absurde, par hypothèse. Donc
sur l'adhérence de U et cette adhérence est donc belle et bien connexe. Cqfd.
Proposition Soient
une famille de sous ensembles connexes de X tels
Alors:
est connexe.
Démonstration Notons U la réunion des
et supposons qu'il existe une application continue
. Soit
un point de l'intersection des
. La restriction de
à
, i étant fixé dans I, est encore une application continue à valeurs dans
. Comme
est connexe, il s'en suit que f est constante sur
. On peut supposer, par exemple, que
vaut 0 sur
. On aura donc
. i étant quelconque dans I, f est alors constante sur chaque
. Mais l'égalité
implique que
est nulle sur tout
et donc que
est nulle sur U et donc constante sur U. Ce qui implique que U est connexe. Cqfd.
Définition Soit x un élément de X. On appelle composante connexe de x la réunion des sous ensembles connexes de X contenant x.
Proposition Soit x un élément de X.
- La composante connexe de x est le plus grand connexe de X contenant x.
- La composante connexe de x est une partie fermée de X.
Démonstration La première partie de la proposition est évidente, par définition de la composante connexe d'un point . La seconde partie s'en déduit aussitôt car, rappelons-le, si un ensemble est connexe il en est de même de son adhérence qui de plus est fermée . Donc si U est le plus grand connexe de X contenant x, il est nécessairement égale à son adhérence qui est aussi connexe et qui contient aussi x.
Proposition Soit
une famille d'espaces métriques connexes. Alors Z, l'espace produit des
est connexe pour la métrique produit
.
Démonstration Soient
et
deux ouverts de Z non vides et partitionnants Z. Fixons
et notons
le projecteur de Z sur
. On a:
et
. Les projecteurs étant des applications ouvertes
,
et
sont des ouverts de
. Ils définissent donc une partition de
en deux ouverts disjoints. Mais
étant connexe, cela implique, par exemple, que
et
. Cela implique par ailleurs que
et
et que Z est connexe.
Réciproquement, les projecteurs
étant continues sur Z pour la métrique produit et la topologie de
, si l'on suppose que Z est connexe, il en est de même de
.
Corollaire ICmuni de l'une quelconque de ses normes est connexe comme produit de IRpar lui même.
Corollaire IR
muni de l'une quelconque de ses normes est connexe.
Définition Soient x et y deux éléments de X. On appelle chemin d'extrémités x et y (ou chemin joignant x et y de X toute application continue
telle que
et
.
Définition On dira que (X,
est connexe par arc si tout couple d'éléments de X peut être joint par un chemin.
Proposition Si X est connexe par arc alors X est connexe.
Démonstration Supposons donc que X n'est pas connexe. Soit alors
, une partition de X en deux fermés. Soient aussi x un élément de U et y un élément de V. Comme X est connexe par arc, il existe un chemin
telle que
et
. Notons
. Comme
est un sous ensemble majoré de IR, il possède une borne supérieur que l'on note
. Notons, d'autre part,
.
est un sous ensemble minoré de IRet possède, par conséquent,une borne inférieure que l'on note
. On a nécessairent
. Supposons que ce ne soit pas le cas, alors
. On peut alors trouver un réél t élément de
. Mais l'élément c(t) de X ne peut alors ni être élément de U, ni de V. Ce qui est impossible. Notons
étant la borne supérieure de
, on peut construire une suite
d'éléments de
convergeante vers
. Mais U étant fermé
et c continue
,
=c(
) est élément de U. De même, on montrerait que c(
) est élément de V. Mais U et V ont été supposés disjoints. On aboutit alors à une contradiction et X est bien connexe.
Remarque Attention, la réciproque est fausse.
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